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2月28日 15時34分
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第10回 「平均と正規分布と曲がった感じのやつ」 - 広木隆の「投資の潮流」

大学生の4人に1人は「平均」の意味を正しく理解していない - 日本数学会が大学生約6千人を対象に行った数学力テストで、基礎知識や論理的思考力が乏しい学生が多数いることが分かった、という記事を目にした。小6で学ぶ平均の定義と性質を尋ねた問題の正答率は76%で、中央値や最頻値との混同・誤解が目立ち、理工系学部でも約2割の学生が不正解だったという。その問題とは次のようなものだ。

生徒100人の身長の平均が163.5㎝だった。この結果から確実に正しいと言えることには○、そうでないものは×をつけなさい。

(1)身長が163.5㎝より高い生徒と低い生徒はそれぞれ50人ずついる。

(2)100人全員の身長を足すと16350㎝になる。

(3)身長を10㎝ごとに区分けすると、「160㎝以上で170㎝未満」の生徒が最も多い。


正解は(2)だけが○で、(1)と(3)は×。記事にあった「中央値や最頻値との混同・誤解が目立った」というのは(1)が中央値(メディアン)、(3)が最頻値(モード)の説明なのでそれらに○をする答えが多かったというのだろう。理工系学部でも約2割の学生が不正解だったというのは驚きだが、間違った理由を同情的に推し量れば、この身長の分布が「正規分布に従う」と無意識に仮定してしまったからではないか。身長や体重の分布は正規分布する典型例であるからだ。正規分布するなら平均と中央値と最頻値は一致する。全部○が正解だ。

これと似たようなことが投資の世界にもある。例えば、期待収益率が正規分布に従うことを暗黙の前提としている分析・戦略が少なくない。実際には収益率は正規分布ではない。収益率の対数をとったものが正規分布に従うのである。だから収益率そのもの(厳密に言えば収益率に1を足したもの=価格比)は対数正規分布に従う。この点に注意が必要である。異なる分布を前提にしている場合、導かれる結論はまるで違うものになるからだ。

もっとも、正規分布にせよ対数正規分布にせよ、それらは実際の投資におけるリターンを完全には捉え切れていない。それらはあくまでも近似であり推計であり仮定である。生徒100人の身長がすべて正規分布に従うと勝手に思い込んではいけないのと同様に、投資の世界でも完全なモデルが存在すると考えてはいけない。資産クラス、市場、戦略、状況、期間など投資の条件が異なれば、リターンの分布は様々である。

記事には続きがあって、「2次関数y =- x&sup2+ 6x - 8 のグラフはどのような放物線か。重要な特徴を3つ答えなさい」という問題になると正答率は「ほぼ正答」を含めても53%に低下、誤答が続出したという。誤答の一例として紹介されていた「曲がった感じのやつ」という答えには笑った。まあ、筆者も正しく解答できるか自信はないが、少なくとも「曲がった感じのやつ」とは口が裂けても言わない。市場用語で「曲がる」とは相場の予想が外れること。ストラテジストが最も嫌う言葉である。筆者なら「y軸上の点(0,-8)から急伸も、座標(3,1)で天井を打って反落、再度底値を探る展開」と答えるが、果たして「ほぼ正答」くらいには評価してもらえるかどうか...。

チーフ・ストラテジスト 広木隆

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