株式レポート
8月29日 18時0分
マネックス証券

【マネックス証券入社2周年記念レポート】  光と波 PART1 - 広木隆「ストラテジーレポート」


「妖精が目に見えないからって、妖精がいないってことにはならないでしょう?」

(ディズニー・アニメ「ティンカーベルと妖精の家」)



God does not play dice (神様はサイコロを振らない)
ヒッグス粒子発見のニュースが大きな話題になるなど、このところ、ちょっとした宇宙論、量子力学ブームである。書店にも専用コーナーが設けられるほど、宇宙科学や素粒子物理学関係の書籍が多く出版され、そしてまたそれらがよく売れていると聞く。同じ新書でも自著「ストラテジストにさよならを」の売れ行きはさっぱりなのに、それらの関連書籍については「早くも重版!」「○万部突破!」など威勢のいい文句が踊った新聞広告を目にすることも多い。そのたびに、就く職業を間違えたと思う今日この頃である。

会議が始まるまで、ちょっと時間があったので、隣に座ったボスミン – 思春期証券マンのマネックス日記でお馴染み – に話しかけた。

「ねえ、ボスミン。証券マンと宇宙科学者では、どちらが女性にモテるかな?」
「広木さん、そりゃあ、愚問というものっスよ。証券マンに勝ち目なんかありゃしません。なにせ、『株屋』なんざ、切った張ったの相場の世界で、やれ、いくら儲けたの、損したのって下世話な世界。それに比べてあちらさんは『宇宙はどうやって始まったのか』『遠くの星は何でできているのか』『宇宙のはてはどうなっているのだろう』って、そりゃもう、深遠かつ哲学的。これ以上ないくらい、どっぷりと『ロマンの世界』に浸りまくっちゃってますから。」
「ロマンの世界ねえ…。」
「女性っていうのは、そういうロマンチックなのに弱いんですよ〜。イケメン科学者が『神秘的な粒子のふるまいを解明する。それが僕のライフワークだ』 なーんて言おうものなら、イチコロです。」
「『神秘的な株価の変動を解明する。それが俺のライフワークだ』 じゃだめなのか?」
「ダメ・ダメ・ダメ!ダメの3乗!」
「そこまで言わんでも…。」
「ダメなものはダメです。だって、あっちは粒子ですよ!」
「それが?」
「なにせ見えないんですから。勝ち目はないっス!」

ボスミン、それはちょっと違うぞ、と言って、筆者はおもむろにホワイトボードに図1のような絵を描き始めた。



「広木さん、何スか、それは?」
「光を、こう、こっちから壁に当てるとする。壁には穴があいていて、光はそこを通って壁の向こうに置いたスクリーンに届く。レーザービームみたいなものを想像してくれ。光が『着弾』するわけだ。光が通っていく穴の場所は分かっているんだから、どこに着弾するか分かると思うだろう?ところが、光の着弾点はてんでバラバラなんだ。でも、それをたくさん繰り返すと、あるひとつのパターンが見えてくる。それが、このような模様だ。」
「縞?模様、ですか?」
「そう。干渉縞といって、水面に石を2つ落とすと、その2つの波が重なったところに縞模様ができるだろ?それと同じなんだ。」
「で?」
「つまり光は『波』だというわけさ。光は粒子だと言ったのはアインシュタインだけど、光は波であり、粒子でもある。いや、光に限らず、あらゆる粒子は波なんだ。あらゆる粒子が波だということは、すべての物質が波だということだ。」
「すべての物質って言ったら、なんですか、じゃあ、この机も、このホワイトボードも波だってことになるじゃないですか?」
「そうだよ。俺たちのこの体もそうだ。」
「そう言われれば、なんかユラユラしているかも。」
「それはお前の脳ミソがクラクラしているだけで、完全に気のせいだ。粒子レベルの波長は、ものすごく微小だから感じることなんかできないさ。」
「ああ、良かった!体のどこかが波みたいにゆらいでいたら気持ち悪くって寝られないですよ。」
「会議ではいつも爆睡してるくせに。まあ、この話はこのくらいにして、俺が言いたかったのは別のことだ。さっき、壁の穴を通った光がスクリーンに着弾する点はバラバラで、どこに着くかは分からないと言っただろう。」
「ええ、でもそんなバカな話はないと思うな。僕には無理だけど、それこそ頭のいい科学者が難しい計算式かなんかを使えば、どこに着くかは予想できるんじゃないですか?」
「それが無理なんだよ。不思議なことに。でもどこに着きそうかという確率は分かる。逆に言えば、確率的にしか示せない、ということだ。」
「で、それと証券マンにも勝ち目があるってことと、どうつながるんです?」
「ここまで話して、まだ気づかないの?株価と同じじゃないか!株価が波動を描くということだけじゃない。株価だって、行き着く先がどこになるかなんて予想はできない。でも、その変動の範囲は確率的に表現できる。例えば標準偏差マイナス1からプラス1の範囲に68%の確率で収まるとか。具体的に言えば、日経平均の予想レンジは8500円から9500円です、というやつだ。」
「ああ、広木さんがよくテレビとか新聞とかで出しているやつですね。でも、その予想レンジって結構外れるじゃないですか(笑)」
「黙れ!そんなことはいいんだよ。俺が言いたいのは、粒子のふるまいも株価の変動も行き着く先を予想することはできずに、どちらも確率的にしか記述できないってことだ。どうだ、これなら株価の変動だってじゅうぶん『ロマンの世界』だろ?」
「僕が女の子だったら全然ロマンチックに感じなーい。」
「うるさい!お前が女の子だったら、なんて気色の悪い想像をさせるな!つべこべ言ってないで、早く合コンをセットしろよ!」
「どーゆー話の展開なんですかっ?」
「話の展開なんかどうでもいいだろ。とにかく俺は今、モーレツに『勝てる』気になってきたんだから。」
「勝てるっていったい誰と何を争ってるんですか?意味不明じゃん!」

エデンの園とブラックボックス
合コンの成否は読者の想像にお任せするとして、光の着弾点を確率的にしか表せないということに違和感を覚えたのはボスミンだけでない。かのアインシュタインも「そんなことはあるはずがない」と考えた。「この世界はもっと美しい自然の法則が支配しているはずだ」と思ったのである。その際に彼が言った言葉が有名な “God does not play dice. (神様はサイコロを振らない)”である。つまり、この点に関してアインシュタインは「決定論」的な立場をとっていたのである。決定論の対になる考えが「確率論」である。フラクタル理論で有名なベノワ・マンデルブロの言葉を借りるなら、この世界を「エデンの園」と捉えるか「ブラックボックス」と捉えるかということになる。

エデンの園では、どんな生き物も自分の場所を神様に必然的に与えられている。そこで起こるどんなことにも理由がある。因果応報の世界だ。つまり、神様と同じ英知があれば、世の中の現象をすべて理解し予測することができる、という世界である。かたやブラックボックスは中身が分からないからブラックボックスという。入っていくところと出てきたものは見えるけれど、中でどんなことが起きているのかは分からない。つまりある現象について原因と結果が一対一に対応しておらず、確率的にしか分からない。箱にAを入れるとA’になるのだけれど、それは百発百中で「必ず」A‘にはなるとは限らない。そこでA’になって出てくる頻度を数える。それが確率論の世界である。

株式市場もまさにブラックボックスではないか。「円高」という要素を箱に入れる。たいていの場合は「株価下落」と出るが、必ずしもそうならないことがある。個別の株価もそうだ。「好決算」が必ずしも「買い」に結びつかないことがある。原因と結果が一意に結びつかない。従って、「こういうケースはこうなることが多い」という表現しかできない。その「多い」「少ない」「一般的である」「稀である」を数字にしようとしまいと、それは確率論的立場である。なぜ、そのようなことになるかといえば、市場では数多くの投資家が様々な思惑と判断、あるいは感情によって、売買を行うからである。その傍ら、最近では感情を持たないアルゴリズムが売買の指示を出す例も増えてきた。人間の群集心理とプログラムされたアルゴ・トレードがぶつかりあい、一層複雑になっている。その結果、あるインプットが必ず同一のアウトプットを返すような単純な経路はかき消され、相場はブラックボックスとなってしまうのである。当然、その歩みは – 以前のレポートでお伝えした「ランダム・ウォーク」となるわけだ。

バートン・マルキールは「ウォール街のランダム・ウォーカー」の冒頭で、「ランダム・ウォークというのは『物事の過去の動きからは、将来の動きや方向性を予測することは不可能である』ということを意味する言葉である」と述べている。このあたりのことは前回のレポートに書いた市場の効率性についての議論を思い出してほしい。ランダム・ウォークとはマルキール博士の言葉の通りの意味であって、それ以上でもそれ以下でもない。すなわち、そのような「概念」を言うのであって、それを表す「事象」を後から当てはめ、「○○はランダム・ウォークだ」というように使う。結論から言ってしまうと、○○に入る適切な言葉は「酔っ払いの千鳥足」くらいだろうと思っている。「株価」は○○に入らないだろう。さらに言えば「ブラウン運動」でさえも。

ランダム・ウォーク、ブラウン運動、あるいはウィナー過程
「ランダム・ウォーク」(のように見える)事象が、具体的にこの世界で観察されたのは1827年のことである。英国人の植物学者ロバート・ブラウンが花粉の微粒子が水のなかで不規則に動くこと発見した。そのふるまいは彼の名をとって「ブラウン運動」と名づけられた。そしてその原理は1905年にアインシュタインとスモルコウスキーによって解明された。ランダムに動き回る周辺分子と微粒子の衝突が原因で起こるということが示されたのである。ブラウン運動の数学的な記述は、ノーバート・ウィナーとポール・レヴィによって理論化された。数学では時間とともに値が様々に変化するような変数を確率過程と言い、そのひとつにマルコフ過程というものがある。マルコフ過程とは、将来の状態は現在の状態にのみ依存するという前提を置いた確率過程である。ウィナーらが理論化したブラウン運動を記述する確率過程をウィナー過程と言うが、ウィナー過程もまたマルコフ過程のひとつである。

ブラウン運動を相場変動のモデルに初めて用いたのはフランスの数学者、ルイ・バシェリエである。彼が書いた「投機の理論」という論文で言及されているが、そのときには「ランダム・ウォーク」という言葉は登場していないらしい(らしい、というのはその論文を読んでいないので)。バシェリエは、証券の価格はコイントスの結果のように「ランダムに」上下動を繰り返すことと、その変動の分布を研究することの意義を確率論を使って説明した。バシェリエの研究は陽の目を見ることはなかったが、後にオプションの基本理論として確立されたブラック・ショールズ・モデルにつながっていく。(このあたりのことはまた別の機会に述べたい。)

整理すると、ランダム・ウォークの数学的表現がウィナー過程であり、物理の世界における呼称がブラウン運動である。効率的市場では – あくまで「効率的市場」に限った場合である - 株価はブラウン運動的なふるまいをすると考えることが妥当であり、それを数学的にモデル化すると株価はウィナー過程に従う、と表現できる。

ウィナー過程に従うある変数をzとすると、微小時間⊿tの間のzの変化⊿zは以下の基本特性を持つ。

基本特性1 ⊿z = ε(t)√⊿t
ε(t)は標準正規分布(平均 0、分散 1の正規分布)に従うランダム・サンプル(無作為標本)である。

基本特性2 異なる微小時間⊿tに対する二つの⊿zの値は互いに独立である。(これはマルコフ過程に従うと言っていることにほかならない。)

ここまでみたウィナー過程はドリフト率ゼロのものである。ドリフト率ゼロというのは、将来にわたってz の期待値は現在値に等しいという意味である。これを発展させた「一般化ウィナー過程」は、単位時間当たり期待値がずれていくモデルである。一般化ウィナー過程は、以前のレポートでもご紹介したとおり、株価の変動を表現する最も基本的なモデルとされている。(バシェリエの先見性に敬意を表する。)



ここで、Sは株価、μ、σはそれぞれ株価収益率の平均と標準偏差、tは時間、zはウィナー過程を示す。ウィナー過程をもう一度記述すると、z =ε(t)√⊿t で、ε(t)は平均 0、分散 1の正規分布に従うランダム・サンプルである。一般化ウィナー過程を言葉で述べれば、『株価の変化(⊿S)』を、『経過時間に比例する平均的な変化幅(μS⊿t)』と『確率的に変化するばらつき(σS⊿z)』によって表したモデルということになる。ここで重要な点は、将来の値のばらつき度合いを標準偏差で測れば、それはどれくらい先かという時間の平方根に比例するということである。この時間の平方根に比例するという部分は、後で重要になってくるので、他のところは忘れてもよいが、この部分だけは覚えておいていただきたい。

実際にエクセルを用いてこのモデルによる数値例を導き出すために、簡易的に微小時間⊿tを1とおいて(⊿t=1)、株価の変化幅(⊿S)を考えると、(1)式は以下のようになる。



日経平均のヒストリカルデータを使ってμ、σを求め(2)式に代入する。ランダム・サンプルε(t)を得るには、APPENDIXに述べる方法でエクセルによって正規乱数を発生させた。

グラフ1は乱数を使って作った一般化ウィナー過程と実際の日経平均のチャートである。つまりコンピュータ・シミュレーションによる株価推移のモデルと本物の株価だ。注釈がなければどちらが本物でどちらがモデルであるか見分けがつかないだろう。



これをもってして「だから株価はランダム・ウォークでしょ?」というのが本稿の結論ではない。その反対である。

正規分布じゃない!
以下に示すモデルと実際の日経平均の統計量の違いは、マンデルブロの手法を真似たものである。グラフ1ではどちらが本物でどちらがシミュレーションであるか見分けがつかないが、グラフ2を見ると、その違いがはっきりする。グラフ2は日々の変化率を示してある。ウィナー過程に基づくモデルのほうは大きな変動がない。そのように作ってあるのだから当たり前と言えば当たり前である。時間が経過しても変化率がほぼ一定で、ゼロの近傍に集中している。たまに外れ値も少しはあるにはあるが、ほとんど例外といってもいい。それに対して実際の日経平均の変化率は、飛びぬけて大きく動いている値が観察される ― しかも結構頻繁に見られることに気がつくだろう。



これをヒストグラム(度数分布)に表したのがグラフ3である。一見すると、どちらも釣鐘型のベルカーブのように見えるが、その度数のスケールが違う。グラフ4ではスケールをあわせて二つの分布を重ねて示した。日経平均の「とんがり具合」が突出していることが分かるだろう。この分布の形状の「とんがり具合」のことを「尖度」という。完全な正規分布の場合は「尖度」は3になるが、ここに示した実際の日経平均の変化率の分布の「尖度」は約12、正規分布(すなわちモデル)の4倍である。「尖度」が4倍、と言われても、ピンと来ないだろう。分布が「とんがっている」ということは、それだけ裾野が長いということである。裾野が長いということは、それだけ平均値から外れた – しかもトンデモなく外れた異常値(実は異常値ではないのだけれどここではそれは一旦、置いておこう)が頻出するということになるわけだ。





それに対してモデルのほうは平均であるゼロの周りにデータが集中している。平均を挟んでマイナス1標準偏差からプラス1標準偏差のなかに68%のデータが収まる。プラスマイナス2標準偏差のなかには95%が収まる。(くどいけれど)そのように作ってあるので当たり前と言えば当たり前である。これをプラスマイナス3標準偏差まで広げると98%が収まってしまう。外れ値はめったに出ない。実際に数えると、マイナス3標準偏差以下となったリターン(変化率)は合計11あった。それに対して実際の日経平均のデータを数えるとマイナス3標準偏差以下となったリターン(変化率)は合計58。なんとモデルの5倍以上の頻度である。しかも、モデルのほうの外れ値はせいぜいマイナス3.5標準偏差が最大なのに対して、実際の日経平均はマイナス10.8標準偏差というトンデモない値が出ている。どれだけトンデモないかというと、通常の正規分布を前提とした世界では10の26乗回に1.8回しか起きない確率である。10の26乗というのは、どれだけ大きい数かといえば、一般に使われる数の単位、1兆で10の12乗だから、その大きさが分かってもらえるだろう。

1兆分の1の確率に相当する標準偏差は大雑把に言えばマイナス6標準偏差である。1年250日営業日と仮定すれば、1兆日営業日は40億年である。正規分布を仮定した世界では40億年に1度しか起こらないはずの下落が、実際の日経平均のデータではたかだか30年ちょっとの間に6回も起きているのである。

つまり、株価はランダム・ウォークだとして、その動きを近似するのに最もふさわしいと考えられ、実際に金融工学の幅広い分野で利用されてきた正規分布を前提としたモデルでは、うまく実際の相場変動を捉えきれていないのである。
(PART2へ続く)

APPENDIX
正規乱数の発生
(2)式内の正規乱数(正規分布に従う乱数)をエクセルで発生させるためには、正規分布の累積密度関数を用いる。累積密度関数とは、ある任意の定数(乱数)に対して、その値よりも小さな乱数が発生する確率を示した関数だ。
概念を理解するには、下図が分かりやすいだろう。①は良く知られている正規分布の概形だ。これは、縦軸に、横軸の実数Xが発生する確率をとったグラフ(確率密度関数と呼ぶ)だが、累積密度関数は、上述の通り乱数Xに対して②の着色部分の大きさを示す関数だ。(Xよりも左側の値が発生する確率の和)
この正規分布に従うXを横軸、累積密度関数の値(確率)を縦軸に図示したのが③となる。②の着色部分の大きさなので、縦軸の最大値は1、最小値は0となる。また、平均が0の正規分布の場合、X=0のとき、累積密度関数の値は0.5となる。



一方、見方を変えれば、累積密度関数は0〜1の任意の値(確率)を決めると、正規分布に従う確率変数X1が求められるわけだ。エクセルでは、この考えを元に正規乱数を発生させる。具体的には0〜1までの範囲の実数を等確率(一様分布④)で発生させることができるRAND関数を用いて任意の実数を発生させ、累積密度関数の逆関数であるNORMINV関数を用いて、発生させた一様乱数に対応する正規乱数を算出するのだ(赤矢印の順)。

μ、σの算出と正規乱数の生成ができれば、(2)式は計算できる。そのため、t=0時点での株価を100とすれば、t=1時点での株価は、100に⊿Sを足せばよい。t=2の株価はt=1の株価に再び乱数を発生させて生成した⊿Sを足して…といった手順を繰り返すことで、グラフ1の擬似的な株価推移を作成した。ご参考までに、右図は今回作成したエクセルシートだ。なお、『正規乱数』列のNORMINV(RAND(),0,1)の部分が正規乱数の生成列、『株価』列が作成した擬似的な株価推移となっている。






(チーフ・ストラテジスト 広木 隆)

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