株式レポート
9月4日 18時0分
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【マネックス証券入社2周年記念レポート】  光と波 PART2 - 広木隆「ストラテジーレポート」

PART1のまとめ

  • 光の粒子も株価も波のように揺らぎ、行き着く先は予測不可能で確率的にしか表現できない。効率的市場ではあらゆる情報が瞬時に証券価格に織り込まれる。
  • したがって株価に影響を与える情報は未知の情報のみであり、過去の情報をもとに株価の方向性を予想しえない「ランダムウォーク」となる。
  • ランダムウォーク的な株価のふるまいを表すモデルとして、ブラウン運動の数学的記述であるウィナー過程という確率過程が一般的に使われる。
  • ウィナー過程は正規分布を基にしたモデルであるが、実際の日経平均の株価変動と比較してみると、実際の株価変動は正規分布で捉えられる範囲を超えていることが示された。
正規分布でないと何が問題になるのか

日経平均の変化率がどのような分布を示すかを調べると、正規分布の特性と大きく異なることが分かった。それが意味することは明瞭である。株価の変化は正規分布に従わないという単純な事実である。ではいったいどのような分布なのだろうか?それは誰にもわからない。われわれが観察できるのはあくまでもサンプルの一部であり、そのサンプルが普遍性をもっているかは証明できない。全体の一部をもって全体を表すとしてよいかという問題である。

実際の株価変動は、少なくとも正規分布をしていない。マンデルブロは、株価はベキ分布であると主張している。ベキ分布とは分布関数がベキ乗則に従うような分布で、裾野の広い形状をもつことから「ロングテール」とか「ファットテール」とも呼ばれる。ベキ分布の代表的な分布にパレートやジップなどがある。ベキ分布は自然・社会現象の多くの事例で観察される分布である。

正規分布ではないことの何が問題なのだろうか。株価変動が正規分布に従わないとすると資産運用や投資の分野において困ったことになることが問題のひとつである。正規分布の仮定のうえで金融工学が取り扱ってきた「リスク」の概念が役に立たなくなるのだ。金融工学では投資における「リスク」をリターンのばらつき=分散と捉えてきた。株価変動の分布が正規分布に従わず、何か他の分布であるとするならば、例えばベキ分布では分散が計算できないケースがある。

寺本英・広田良吾・武者利光・山口昌哉という稀代の数学者・物理学者の異色対談集「無限・カオス・ゆらぎ」(培風館)という本がある。対談が行われたのは今から30年も前のことだ。そのなかに、この分散が計算できないで発散 するという話が出てくる。

武者 だからワイエルシュトラス関数のバリアンス(ゆらぎの二乗平均値) が発散するというさきほどの話はぼくには理解できない。
広田 さっきのバリアンスの問題をぼくはもうちょっと知りたいんですが。
山口 それはガウス分布 のときは

でしょう。ガウス分布のときはその分布をfとするとすべてのnについてこれが全部有限で存在するわけですか、+∞では指数的に小さくなるから。平均から分散まで無限次のエレメントが全部有限である。

 一方、ジップの法則ではランクサイズというやつがランクが無限に右のほうに行ってもエクスポネンシャルで減少しないのでバリアンスも存在しない積分が有限でない。


この文章を初めて読んだときには「人間の言葉で話してほしい」と思ったものだ。
簡単にいうとこういうことであろう。

正規分布は以下のような確率密度関数を持つ。



この確率密度関数こそ、例の左右対称の釣り鐘型のベルカーブを表すものだ。カーブの左端と右端はマイナス∞(無限大)から+∞で決してx軸には接しない。無限大までいくということは限りなくゼロに近いから、事実上x軸に接したものと捉えてもいいかと言うと、それは否である。正規分布であっても裾野はずっとどこまでも延びて決してx軸には接しない。裾野の問題はその値が収束 する(収まる)かという話である。無限までいっても、その値自身は有限の値をとることがあり得る。例えば

1+1/2 +1/4 + 1/8 … (1 + 1/2 + 1/22+ 1/23+ 1/2n …)

の合計値は2になる。その数列が無限まで続いても計算できるのだ。正規分布の分散が計算できるのは、収束する度合いが速いので上手く計算できると考えたほうがいい。
なぜ正規分布が速く収束するかと言えば、式(1)の通り、exp(エクスポネンシャル)で割っているからである。

一般に「エクスポネンシャル」とは指数関数のことだが、解析学では特に自然対数の底e(ネピア数)の指数関数のことを指す。式(1)のexpというのがエクスポネンシャルである。底がeである指数関数のグラフを描くとグラフ1の通り。すごく急激にカーブが上昇しているのが分かるだろう。式(1)をもう一度ご覧いただきたい。expの( )括弧のなかはマイナス、つまり割り算だ。高校の数学のおさらいだが、3の3乗は27、3のマイナス3乗は1/27である。すごく急激にカーブが上昇するもの(つまり指数的に増大するもの)で割るのだから速く収束するのである。山口先生が言っている「+∞では指数的に小さくなるから」とか「無限に右のほうに行ってもエクスポネンシャルで減少しない」とはそのことである。正規分布は「無限に右のほうに行くとエクスポネンシャルで減少し」収束するが、ジップなどのベキ分布は「無限に右のほうに行ってもエクスポネンシャルで減少しない」のでサンプルのとりようによっては分散が発散してしまうのである。




正規分布というのは分布のなかでも極めて特殊な分布である。つまり平均と分散(またはその平方根の標準偏差)のたった2つのパラメータで記述できてしまうのだから大変便利なのだ。世の中の現象の近似として使うには使い勝手がいいので広く普及しているが、使い方を誤ると大変なことになる。例えば、試験の成績や人間の身長のように上限下限がある程度決まっているようなものに、近似として用いるには問題がないと言えるだろう。正規分布の範囲に収まるものだからだ。すなわち身長10メートルの巨人や1ミリメートルの妖精のような小人はまずいない。しかし、ワイルドな(荒っぽい)ものへの安易な適用は命取りになりかねない。例えば、地震の発生確率、津波の高さ、氾濫する河川の流量、そして株価の変動である。10シグマ(標準偏差10個分)の衝撃で全財産を吹き飛ばされ、失意のあまり命まで絶ってしまった人間がいないわけではないと思う。

今回のPART2では株価変動の分布が正規分布に従わないことについて述べてきた。正規分布ではなく、一部で指摘されているようにベキ分布に従っているとすれば、これまでの金融工学が取り扱ってきたリスクの概念、分散(標準偏差)が役にたたないということが問題であると指摘した。しかし、それでは何も問題の解決につながらない。ただでさえ株価の動きは予測不可能、行き着く先を予見できず、変動の範囲を確率的にしか示せない、としてきた。株価変動が正規分布しないのならば、変動の範囲を確率的に示すことすらできないというわけか。それではランダムウォークの度合いが強まるだけではないのか。

次回PART3では、いよいよ結論を述べる。もう混み入った数式は(あまり)出てこないので是非お読みいただきたい。ここまで辛抱強くお読みいただいたのだから、最後の結論までお付き合い下さい。

ところで、この「マネックス入社2周年記念レポート 光と波」についても多くのご意見を頂戴した。例によって賛否両論である。ご支持いただいた皆様には厚く御礼申し上げます。一方、お気に召さなかった方々の意見を集約すると「長すぎる、難解すぎる」というものがほとんどである。先日、名古屋で「マネックス全国投資セミナー」を行ったが、第二部の「マネックスライブ・チャット駆け込み寺」(松本大・村上尚己・筆者などがパネラーになって会場のお客様からいただいた質問に回答するもの)への質問にこういうものがあった。

「マネックスの、顧客ニーズを汲み取りサービスや商品の改善につなげていくという姿勢は大変好感がもてるが、その一方で貴社ストラテジストの広木が書いた直近のレポート『光と波』は顧客ニーズを踏まえたものなのか大いに疑問である。」

司会の佐藤まりえちゃんは優しいから、本番ではこの質問を取り上げなかったので、筆者もこれに回答する機会がなかった。せっかくいただいた質問(苦情?)なのでこの場を借りてお答えする。

もちろん顧客ニーズに基づいて書いている。但し、それは筆者が想像する顧客ニーズである。「何について書いて欲しいか」というアンケートをとったことはない。このレポートの内容は、筆者がマネックス証券のお客様のためになると信じて書いているものだ。無論、お客様の好みは千差万別だから万人を満足させられるテイストのレポートには仕上がらない。では、最大公約数を狙っているかと言えば、それも違う。以前も書いたが、「八方美人」は結局誰からも好かれない。万人受けを狙ったレポートは味気ないものだ。

筆者のレポートは普段から一風変わっていると自覚しているが、今回のシリーズはなかでも特に異彩を放つ(ボスミンにも言われる始末→「思春期証券マンのマネックス日記」)。しかし、そのゴツゴツとした違和感を楽しんでくれる読者もいるのだ。そして、それはきっとその読者の役に立つ。なぜなら、投資において理論は重要というのが筆者の変わらない主張だからだ。それも生半可な知識や理論ではだめだ。そういうと「素人に、個人投資家に、そこまでの高度な理論が必要ですか?」という反論がくる。筆者の答えは「当たり前じゃないか!」というものだ。だって、あなたが戦うのはアマチュアのリングですか?プロのリングですか?ボスミンに聞けばいい。ボクシングでは体重別に階級が分けられて体格によるハンディキャップを少なくする工夫がなされている。アマチュアにはアマチュアのグローブやヘッドギアなどの装備の着用が義務付けられている。プロはヘッドギアもなく、アマよりもずっと軽いグローブで殴りあう。アマとプロは厳然と分かれている。

株式投資はどうか?アマチュア専用の市場というものはない。(東証はプロ専用市場というものを立ち上げようとしているが機能していない。)株式市場ではヘッジファンドも機関投資家もデイトレーダーもみんな同じ土俵で戦うのである。あなたが自転車で走りたいのは勝手だが、投資の世界では公道をF1マシンでぶっ飛ばしてくる連中がいることは忘れないほうがいい。

別な質問をしよう。あなたにとって相場はやさしいですか?簡単に儲けがでる世界ですか?筆者にとっては決してやさしいなんてことがあるはずもなく、これ以上タフで厳しい世界はないと思っている。ではそういう世界で少しでも勝率を上げよう、損を少なくしようとすればどうすればよいだろうか?勉強するしかない、というのが筆者の考えである。どの分野を勉強するか?テクニカル分析?経済学?企業評価?世界情勢?すべてである。これを勉強すれば相場が張れる、というものはない。相場をやるなら、最先端の金融理論から市場の機微まですべて勉強するべきだ。それでも勝てる保証はないけれど。相場は簡単ではない。だから取り組む価値がある。

先月の25日、人類史上初の月面着陸に成功した宇宙船アポロ11号の船長、ニール・アームストロング氏が死去した。月面に降り立った際の言葉「1人の人間にとっては小さな一歩だが、人類にとっては大きな飛躍である」はあまりにも有名だ。宇宙計画に関する名言といえば、ライス大学で行ったケネディ大統領のスピーチが有名だ。

We choose to go to the moon in this decade and do the other things, not because they are easy, but because they are hard, because that goal will serve to organize and measure the best of our energies and skills, because that challenge is one that we are willing to accept, one we are unwilling to postpone, and one which we intend to win, and the others, too.

<我々が10年以内に月に行こうなどと決めたのは、それが容易だからではありません。むしろ困難だからです。この目標が、我々のもつ行動力や技術の最善といえるものを集結しそれがどれほどのものかを知るのに役立つこととなるからです。その挑戦こそ、我々が受けて立つことを望み、先延ばしすることを望まないものだからです。そして、これこそが、我々が勝ち取ろうと志すものであり、我々以外にとってもそうだからです。>

我々以外にとってもそうだから、というのがポイントである。他者もみんな困難なことにチャレンジしているのだ。そうすることで成長し、投資に関する知識や技法を磨いていけるのである。あなたがしなくても、他の市場参加者はそうするだろう。相場の腕を磨こうと貪欲にさまざまな知識を吸収したいと思う人間はごまんといる。そういう人間と戦う場が市場なのである。ケネディの「月に行こうなどと決めたのは」という言葉は、ほかのどんな言葉にも置き換えることができる。もちろん「相場に挑む」という言葉にでも。



(チーフ・ストラテジスト 広木 隆)

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