ベイズの定理

　不確実な状況（不完全な情報）において、何らかの出来事が発生する確率を導き出すのがベイズの定理だ。

　かつて関西のテレビに「ラブ・アタック」という番組があった。私などにはとても懐かしいのだが、1人の女の子をめぐって5人の男子がドンゴロス（麻袋）に入って障害物競走をしたりフルコースを早食いしたりするという番組で、最後に残った3人が歌を歌って「かぐや姫」に順番にプロポーズするというもの。司会は、横山ノックと上岡龍太郎、和田アキ子だった。以下は、その番組をイメージしての設問。

【問1】
ＡＢＣの3人の候補のうち、「かぐや姫」はすでに誰のプロポーズを受け入れるかを決めているのだが、本人たちには知らされていない。「かぐや姫」の気持ちを知っているのは司会者だけだった。
Ａは、「ＢかＣのどちらかは必ずフラれるのだから、フラれるやつを教えてくれ」と司会に頼んだ。すると司会者は、「Ｃはフラれる運命や」とうっかり本当のことを答えてしまった。
これを聞いたＡは、「自分（Ａ）かＢがプロポーズに成功するわけだ。確率は1/3ではなく、1/2になった」と考えて、喜んだ。
Ａが選ばれる確率は？

　確かにＡが喜んだように、確率は1/2になったような気がする。しかし、ベイズの定理（※1） に従って計算すると、「Ｃはフラれる」と教わったとしても、Ａのプロポーズが受け入れられる可能性は1/3のままである。

（※1）ベイズの定理とは、事象Ｂ（ここでは司会者の発言）が起きたとき、事前確率を事後確率に更新するための定理。一般的に、事象Ｂが起こるすべての可能性を分母とし、そのうちの「事象Ａが起きて、かつ、事象Ｂが起きる」という可能性を分子として計算する。

事前確率と事後確率

　以下、簡単に説明しよう。

　事前の確率は、ＡＢＣそれぞれ1/3である。

　ＡＢＣのうち1人のプロポーズが受け入れられると仮定したとき、「ＢかＣのどちらかは必ずフラれるのだから、振られるやつを教えてくれ」というＡに対して、司会がどう答えるかは次のようになる。

Ａが選ばれると知っている司会が「Ｃはフラれる」と答える確率は1/2。
Ｂが選ばれると知っている司会が「Ｃはフラれる」と答える確率は1。
Ｃが選ばれると知っている司会が「Ｃはフラれる」と答える確率は0。

　以前に紹介した「タクシー問題」と同じで、分母は、司会が「Ｃはフラれる」と答える確率であり、分子は、Ａが選ばれると知っている司会が「Ｃはフラれる」と答える確率である。結局は、1/3。

　要するに、確率は変わらないのだろうと思った人がいるかもしれないが、それは早合点。この問題では、たまたま同じだったというにすぎない。

　どうもよくわからないという人は、市川伸一がルーレット表現（同型図式）と呼ぶ方法で考えて見るとよい（『考えることの科学』中公新書）。