写真はイメージです Photo:PIXTA
TBS「東大王」においてクイズ番組初出場で初優勝を果たし、初代東大王に輝いた鶴崎修功氏が、美しくて、楽しくて、深い「数学の世界」へいざないます。今回扱うのは確率論。「横綱の69連勝はどれだけすごい？」「当たる確率が1％のガチャは100回引けば1回は当たる？」といった身近な話題で楽しく解説します。鶴崎修功著『文系でも思わずハマる 数学沼』（マガジンハウス）から一部抜粋・再編集してお届けします。
確率を知れば、冷静な判断ができる
横綱の69連勝はどれだけすごいのか
突然ですが、クイズです。
Q：大相撲で、最多連勝記録69を持つ力士は誰？
……少し難しかったでしょうか。正解は「双葉山」です。双葉山（1912～1968）は戦前の力士で、第35代横綱です。残念ながら、1939年1月15日に前頭三枚目の安藝ノ海に惜しくも敗れてしまいますが、69連勝は現在でも、大相撲の最多連勝記録だそうです。
実際、69連勝というのは、どれほどの偉業なのでしょうか。双葉山の横綱通算勝率は約88.8％なので、勝率9割として、69連勝する確率を計算してみることにしましょう。
勝率9割の力士が69連勝する確率は、0.9の69乗を計算すれば、求めることができます。実際に計算してみると、0.00069619なので、約0.07％という結果が得られました。9割という高い勝率を持つ力士であっても、69連勝できる確率はたった0.07％に過ぎないのです。その点からも、双葉山の連勝記録がいかに偉大なことだったかがわかります。このように、1よりも小さな数を累乗していくと、急速に小さな数になっていくのです。
当たる確率1％
100回引けば1回は当たる？
これをより身近な例に当てはめて考えてみましょう。スマホのソーシャルゲームではアイテムを「ガチャ」と呼ばれるくじで引きます。このガチャでは、一番いいアイテムを引く確率はだいたい数％ぐらいです。SNS上では「100回引いても当たらなかった」といった悲しい投稿をよく目にします。
たとえば、レアアイテムを引き当てる確率が、1％だったとします。このとき、100回引けば、必ず1回はレアアイテムを引き当てることができると考えてよいでしょうか。
答えはノーです。1回引いてくじに外れる確率は0.99ですから、100回引いて100回ともくじに外れる確率は0.99の100乗になります。この値を計算すると、0.366……ですから、100回引いてもレアアイテムを引き当てることができない確率は、約37％にも達するのです。逆に、100回くじを引いて、少なくとも1回当たる確率は「1－0.366＝0.634」、つまり約63％なのです。
さらに、注意が必要です。それは、たとえどんなにくじを引き続けたとしても、当たる確率は決して100％にはならないということです。それは、0.99を無限にかけ算しても、決して0にはならないからです。ちなみに、この場合、少なくとも1回当たる確率が99％以上になるのは、なんと459回以上引いたときだということが計算からわかります。
同様に、当たる確率が20％だったとしても、5回引いたからといって、レアアイテムを引き当てられるわけではありません。この場合も計算してみましょう。5回連続外れる確率は0.8の5乗≒0.33ですから、5回に少なくとも1回レアアイテムを引き当てる確率は「1－0.33＝0.67」、つまり約67％ということになります。
ガチャを引く画面は射幸心をあおる演出が入っているので、つい限度を忘れてお金を投じてしまいがちです。そういった失敗をしないためにも、数学的な思考力を武器に、冷静な判断ができるようにしましょう。
