【時計の問題】7時から8時までの間で、長針と短針が「反対方向に一直線になる」のは7時何分か計算できる？

11×11～19×19をパパッと暗算できる「おみやげ算」。この計算法を紹介した『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』は、学習参考書として「史上初」となる「2023年 日本で一番売れた本（年間総合1位）」になりました（日販調べ）。そこで、「もっと計算を解きたい！」「もっと学びたい！」の声にお応えし、さらにパワーアップした1冊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本　計算の達人編』が登場！ おみやげ算だけでなく、例えば、「（22－5）×17＋40÷8＝」のような「＋－×÷（ ）と、おみやげ算のまじった計算」を読者の方がスラスラ暗算できることが、本書のゴールです。小学生の計算力強化だけでなく、大人の脳トレとしても役立ち、前作からの読者はもちろん、本作から読み始める方もスムーズに取り組めます。本書の著者である、東大卒プロ算数講師の小杉拓也氏にわかりやすく解説してもらいました。

おみやげ算のおさらい

さっそくですが、おみやげ算の計算法について説明します。

（例）14×17＝

①14×17の右の「17の一の位の7」をおみやげとして、左の14に渡します。すると、14×17が、（14＋7）×（17－7）＝21×10（＝210）になります。

②その210に、「14の一の位の4」と「おみやげの7」をかけた28をたした238が答えです。
まとめると、14×17＝（14＋7）×（17－7）＋4×7＝210＋28＝238です。

この2ステップで、例えば、11×15、16×12、19×19などの「十の位が1の2ケタの数どうしのかけ算」は、おみやげ算を使ってすべて計算でき、慣れると暗算もできるようになります。

「おみやげ算で計算できる理由の証明（文字式を使った説明）」については、過去の記事『「16×18＝288」が爆速で暗算できる驚きの方法』に掲載しています。

また、小学生向けの理由の説明は、『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本　計算の達人編』の巻末に、長方形の面積図を使った方法を載せていますので、興味のある方はご参照ください。

7時から8時までの間で、長針と短針が「反対方向に一直線になる」のは7時何分？

おみやげ算もそのひとつですが、今回の記事のテーマは「学校ではあまり教えてくれない算数」です。「時計算」といわれることもある特殊算についてお話ししていくのですが、具体的にどのような内容か、次の問題をみてください。

7時から8時までの間で、長針と短針が反対方向に一直線になる（＝長針と短針のつくる角度が180度になる）のは「7時5分過ぎくらいかな」と想像するのは間違いではないのですが、7時何分かを正確に求めようという問題です。

この問題を解くためには、はじめに長針と短針のそれぞれの速さを求める必要があります。

まず、長針の速さから求めていきましょう。長針は、1時間（＝60分）で時計を1周り（360度）します。そのため、長針は、1分間に（360÷60＝）6度進みます。

一方、短針は、12時間、すなわち（12×60＝）720分で時計を1周り（360度）します。そのため、短針は、1分間に（360÷720＝）0.5度進みます。

ここで、「7時ちょうどの時点で、長針と短針が何度離れているか」を求めましょう。7時の時点で、長針は「文字盤の12」、短針は「文字盤の7」を指しています。ところで、文字盤に注目すると、時計の1周（360度）は、1から12の文字盤（と、時計の中心を結ぶ各直線）によって、12等分されています。つまり、それぞれの文字盤によって、（360÷12＝）30度ずつ等分されているということです。

そのため、7時の時点で、長針と短針は、（30×7＝）210度（大きい方の角度）離れていることがわかります（小さい方の角度は、360－210＝150度です）。

ここで話を戻すと、長針は1分間に6度、短針は、1分間に0.5度進むのでしたね。

つまり、7時の時点で210度離れていた、長針と短針は、1分間に（6－0.5＝）5.5度ずつ近づいていくことがわかります。210度離れていた長針と短針が、5.5度ずつ近づいていき、反対方向に一直線になる（＝長針と短針のつくる角度が180度になる）のが7時何分かを答えればよいのです。

これにより、7時の時点と比べて、長針と短針が（210－180＝）30度近づいたときに、反対方向に一直線になることがわかります。1分間に5.5度ずつ近づくのですから、30度近づく時刻を求めるために、「30÷5.5」を計算すると次のようになります。

30÷5.5
＝30÷11/2
＝30×2/11
＝60/11（≒5.4545…）

そのため、【問題】の答えは、7時60/11分です（帯分数に直すと、7時5と5/11分）。

今回は「時計算」をとりあげましたが、スムーズに解けたでしょうか。「学校ではあまり教えてくれない算数」のなかにも、面白さはたくさんあります。学校で習わない算数の世界を、本などで調べてみるのも楽しいかもしれません。