天才数学者たちの知性の煌めき、絵画や音楽などの背景にある芸術性、AIやビッグデータを支える有用性…。とても美しくて、あまりにも深遠で、ものすごく役に立つ学問である数学の魅力を、身近な話題を導入に、語りかけるような文章、丁寧な説明で解き明かすロングセラーの数学読み物『とてつもない数学』。鎌田浩毅氏（京都大学教授）「数学“零点”を取った私のトラウマを払拭してくれた」（「プレジデント2020/9/4号」）、「人気の数学塾塾長が数学の奥深さと美しさ、社会への影響力などを数学愛たっぷりにつづる。読みやすく編集され、数学の扉が開くきっかけになるかもしれない」（朝日新聞2020/7/25掲載）、佐藤優氏「永野裕之著『とてつもない数学』は、粉飾決算を見抜く力を付ける上でも有効だ」（「週刊ダイヤモンド2020/7/18号」）、教育系YouTuberヨビノリたくみ氏「色々な角度から『数学の美しさ』を実感できる一冊!!」と絶賛されている。今回は、著者の書き下ろし原稿を特別に掲載する。
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完全な球体はこの世界に存在するのか？
数学では、平面上の「1点からの距離が等しい点の集合」を「円」と言い、同様に、空間上の「1点からの距離が等しい点の集合」を「球」（あるいは球面）と言う。
円も球も、中心からあらゆる点までの距離が完全に等しい図形である。肉眼では判別できないほどのわずかな歪みであっても、中心からの距離に違いがあれば、それは「円」や「球」ではない。
現実世界には、真の円も真の球も存在しない。数学が描く理想的な形状と、私たちが実際に目にする物体の形には、隔たりがあるのだ。
なぜだろうか？ それは、現実世界では様々な制約が「完璧な形」を阻むからである。
まず、物質を構成する原子や分子の並び方は、ミクロな視点で見ると均一ではない。また、重力をはじめとする外部からの力によって歪みが生じる。さらに、私たちが物を作る際には、どれほど精密に作ろうとしても、加工や製造の段階で限界がある。計測誤差も完全には避けられない。
そんな中、人間の技術が到達した驚くべき精度を示す例の一つが、ベアリングボール（ボールベアリング）だ。機械の中で摩擦を減らす役割を担うこのボールは、非常に高い精度で製造されている。
最高精度で作られた直径10mmのベアリングボールは、最大直径と最小直径の差が0.0025mmしかない。0.0025mmは、人間の髪の毛の太さの1/20～1/40程度に相当し、驚異的な精度と言える。これでも数学が描く「完全な球」とは言えないかもしれないが、私たちの技術の粋がいかにその理想に近づいているかが分かる。
自然界における真球
自然界にも、真円や真球に近い形状を示すものがある。 その一つがシャボン玉だ。重力の影響が少なく、表面張力が均等に働くことで、シャボン玉はほぼ完全な真球を形成する。特に、無重力の環境で作られたシャボン玉は、理想的な真球に非常に近い形状になることが知られている。
ところで、地球が真球ではないことをご存じの方は多いだろう。自転によって生じる遠心力の影響を受けて、赤道付近が膨らむからだ。大げさに言えば、地球はみかんのような形をしている。星が赤道方向に膨らむ程度は扁平率と呼ばれる指標を使う。扁平率が小さいほど、より球体に近いと言える。
地球の扁平率は約0.3％で、太陽系の惑星の中では3番目に球に近い。太陽系の惑星の中で最も球に近いのは金星で、その扁平率は約0.02％である。この扁平率は、最高精度のベアリングボールと同程度だ。ちなみに「太陽系真球ランキング」最下位の土星の扁平率は10％で、目に見えて、輪っかの方向に膨らんでいる。
では、宇宙の中でもっとも真球に近い天体はなんだろう？ 最初に名乗りを上げたのは太陽である。
2012年、ハワイ大学のジェフリー・クーン氏らは、太陽を直径1mのビーチボールに縮めた場合、最も膨らんでいる部分と最もへこんでいる部分の高低差は17ミクロンしかないことを突き止めた。17ミクロンといえば、花粉1粒程度の大きさである。さらに、最大直径と最小直径から求めた太陽の扁平率は、わずか0.0009％であることもわかった。
太陽は、ガスで構成されているため、地殻で覆われた地球などより自転の影響を受けやすいはずなのに、実際には極めて真球に近い形を保っている。これは、太陽内部のプラズマ乱流が、局所的な形状の歪みを補正しているためだと言われている。クーン氏らの研究が発表されると、太陽は「宇宙の最も丸い天体」として、驚きをもって迎えられた。
ケプラー11145123
しかし、その栄光は長くは続かなかった。現在「宇宙で最も真球に近い天体」の称号を誇っているのは、マックス・プランク研究所のローラン・ジゾン氏らによって2016年に観測された「ケプラー11145123」だ。地球から5000光年離れた場所にあるこの恒星の扁平率は驚異の0.00018％だという。
数学が描く「完璧な形状」は、現実には存在しないものの、それに近づこうとする人間の努力や自然界でその片鱗を垣間見ることは、私たちに大きな感動を与える。理論と現実の溝に、人間の知性の輝きが宿る。真円や真球という理想を追い求めることで、私たちは宇宙の深淵に触れ、世界の真実に近づく。
数学は、単なる記号の羅列ではない。そこには、人間の飽くなき探求心と、世界への畏敬の念が刻まれているのだ。
（本原稿は『とてつもない数学』の内容と関連した書き下ろしです。）
永野数学塾塾長
1974年東京生まれ。父は元東京大学教養学部教授の永野三郎（知能情報学）。東京大学理学部地球惑星物理学科卒。同大学院宇宙科学研究所（現JAXA）中退後、ウィーン国立音大へ留学。副指揮を務めた二期会公演モーツァルト「コジ・ファン・トゥッテ」（演出：宮本亞門、指揮：パスカル・ヴェロ）が文化庁芸術祭大賞を受賞。主な著書に『大人のための数学勉強法』（ダイヤモンド社）、『東大→JAXA→人気数学塾塾長が書いた数に強くなる本』（PHP研究所）など。これまでに1000人以上の生徒を数学指導してきた実績を持ち、永野数学塾は、常に予約キャンセル待ちの人気となっている。NHK（Eテレ）「テストの花道」出演。朝日中高生新聞で『マスマスわかる数楽塾』連載（2016ー2018年）。朝日小学生新聞で『マスマス好きになる算数』連載（2019ー2020年）。『とてつもない数学』（ダイヤモンド社）がロングセラーとなっている。
数学は、美しくて、深遠で、役に立つ――著者より
1から1000に増えるまでには約2ヵ月かかった。その後、11日で2000にまで増えた。さらに、3日後には、3000を超えてしまった。
これが何の数字かおわかりだろうか？ 新型コロナウイルスの日本国内における感染者数の推移である。WHOによると、新型コロナウイルスは1人の感染者からおよそ2人（正確には1.4～2.5人）に感染するそうである。これは、感染者の数が1人→2人→4人→8人→16人……と「倍々ゲーム」で増えていくことを意味する。
「倍々ゲーム」を1から始めた場合、「→」を4回重ねても16にまでしか増えないが、10回重ねると1024まで増える。「→」を20回重ねれば、なんと100万を超えてしまう。このように同じ数を繰り返し掛けることによる変化を「指数関数的変化」と呼ぶ。最初はゆるやかにしか増えないのに、途中から爆発的に増えるというのは、指数関数的増加の最大の特徴だ。冒頭に紹介した感染者数の推移はまさにこの特徴にあてはまる。
もし数学がなかったら、私たちはかつて経験したことのない事態に見舞われたとき、ただ呆然と立ち尽くすか、「予言者」を名乗る人物の言葉を信じるしかないだろう。しかし、数学があれば、たとえ未曾有の感染病であっても、モデルを作り、論理的考察を重ねることで、確度の高い予想を立てることができる。それは未知の問題を解決する緒になる。
現代は、第四次産業革命の真っ只中にある。コンピューターとインターネットの普及によって、AI（人工知能）、IOT（モノのインターネット）、ビッグデータなどが産業に大きな変化をもたらしているのだ。そうした中で、数学の存在感は益々大きくなっている。国家や企業の命運を左右する戦略の決定から、ごくごくプライベートな問題に至るまで、数学の守備範囲は極めて広い。
たとえばイギリスの数学者ピーター・バックスは、2009年に「なぜ僕には恋人ができないのか？」という論文を書いた。その中で彼は、いわゆる「フェルミ推定」を使い、自分が理想とする女性がロンドンには26人いるはずだと算出している（ロンドンの人口を考えると、そのうちの誰かと出会える確率は極めて低いと結論した）。
「フェルミ推定」というのは、既知のデータといくつかの推定量を掛け合わせてだいたいの値をはじき出す手法のことを言う。GoogleやMicrosoftなどが入社試験に「東京にはマンホールがいくつあるか？」のような問題を頻繁に出したことから「フェルミ推定」は注目を集めるようになった。
また、つい最近、こんなニュースもあった。京都大学数理解析研究所の望月新一教授が8年前に書いた「ABC予想」についての論文の査読（内容チェック）が終わり、その正しさが確認されたという。誠に素晴らしいことであるが、このニュースを聞いて「正しいかどうかを判定するのに8年も？」と驚かれた方は多いのではないか。この論文は、発表された当時「理解できる数学者は10人もいないだろう」と言われた。数学はときに、世界最高ランクの頭脳が束になっても叶わないような高い知性を必要とする。
この度上梓させていただく『とてつもない数学』には、数学の、こうしたとてつもない懐の広さと魅力について書いた。数学の学問としての奥深さ、美しさを体現する芸術性、実学としての社会への影響力などを、文系の読者にも読みやすいように、できるだけ噛み砕いて書いたつもりである。また、ことり野デス子さんの可愛く、それでいて数学的に的を射たイラストもふんだんに盛り込まれているので是非お楽しみいただきたい。
歴史に名を残す数学者の姿も書いた。彼らについて知れば、数学は人類が脈々と受け継いできた「叡智の結晶」であることがわかるだけでなく、クールな数式の裏に隠された熱いドラマにも胸を打たれることだろう。
私自身は、高校時代に物理を通して数学の「とてつもなさ」を知った。公式として覚えさせられた数式の数々が、微分・積分によってすべて繋がることを知ったときの興奮と感動は今でもはっきりと覚えている。それは私にとって、数学という世界の扉が開いたような心持ちになる出来事だった。
その後は、数学の持つ合理性と美しさをどこにでも発見することができたし、数学が教えてくれるものの考え方が人生を生きる上での指針になることも知った。
1つの「とてつもなさ」をきっかけにして、こうした経験を積んだことこそ、私が数学の意味と意義とお伝えすることをライフワークにしていこうと決心した最大の理由である。数学の「とてつもなさ」が私の人生を変えたと言っても過言ではない。
本書が、読者にとっての「数学の扉」が開くきっかけになることを願っている。
■新刊書籍のご案内
『とてつもない数学』永野裕之 著、定価1870円（本体1700円＋税10％）
☆☆信頼のロングセラー3万部突破!!☆☆
鎌田浩毅氏（京都大学教授）推薦！
「数学“零点”を取った私のトラウマを払拭してくれた」
ヨビノリたくみ氏絶賛！
「色々な角度から『数学の美しさ』を実感できる一冊!!」
天才数学者たちの知性の煌めき、絵画や音楽などの背景にある芸術性、AIやビッグデータを支える有用性…。とても美しくて、あまりにも深遠で、ものすごく役に立つ学問である数学の魅力を、身近な話題を導入に、語りかけるような文章、丁寧な説明で解き明かす。文系でも楽しめる究極の数学読物！
数学の概念や理論・方法論は、主に16世紀以降、物理学、化学、生物学、天文学といった基礎科学はもちろん、工学、農学・医学、経済学といった実学にも応用され、さらには哲学や芸術までにも拡がった。そして、第四次産業革命（AI、IOT、インターネット、ナノテクノロジー、自動運転といった技術革新があらゆる場面の産業に引き起こしている技術変革）が進行中の現代では、数学の存在感は益々大きくなっている。
これからは、数学と無関係なものは何もない、と言えるところまで拡大していくのではないだろうか。そういう意味では数学の「とてつもなさ」は、今もなお発展中なのである。
本書では、ピタゴラス、デカルト、フェルマー、ニュートン、ライプニッツ、オイラー、ガウス、カントール……などの天才数学者たちの功績を紹介し、彼らがもたらした方程式、関数、微分積分、集合、確率、統計……といった数学上のブレイクスルーの意味をお伝えした。また、負の数、虚数、無限、N進法といった概念や、円周率やネイピア数という不思議な定数とその影響力の大きさ等についても書いた。
数学の大きな魅力の1つである「美しさ」にも1章を割いたし、魔方陣や万能天秤といったパズル的な話題を通して、数そのものの不思議さが感じられる「計算」も紹介した。我ながらヴァラエティに富んでいると思う。それだけ数学という学問は間口が広いのだ。
本書で紹介した数学の学問としての奥深さ、美しさを体現する芸術性、実学としての社会への影響力などを通して、数学の「とてつもなさ」が――どれかひとつでも――伝わっていますように。そして、あなたにとっての「数学の扉」が開くきっかけになりますように。（本書の「おわりに」より）
