天才数学者たちの知性の煌めき、絵画や音楽などの背景にある芸術性、AIやビッグデータを支える有用性…。とても美しくて、あまりにも深遠で、ものすごく役に立つ学問である数学の魅力を、身近な話題を導入に、語りかけるような文章、丁寧な説明で解き明かすロングセラーの数学読み物『とてつもない数学』。鎌田浩毅氏(京都大学教授)「数学“零点”を取った私のトラウマを払拭してくれた」(「プレジデント2020/9/4号」)、「人気の数学塾塾長が数学の奥深さと美しさ、社会への影響力などを数学愛たっぷりにつづる。読みやすく編集され、数学の扉が開くきっかけになるかもしれない」(朝日新聞2020/7/25掲載)、佐藤優氏「永野裕之著『とてつもない数学』は、粉飾決算を見抜く力を付ける上でも有効だ」(「週刊ダイヤモンド2020/7/18号」)、教育系YouTuberヨビノリたくみ氏「色々な角度から『数学の美しさ』を実感できる一冊!!」と絶賛されている。今回は、著者の書き下ろし原稿を特別に掲載する。

【解いてみたくなる数学】「残りの1000円」はどこに消えた?Photo: Adobe Stock

消えた1000円

「消えた1000円問題」と呼ばれる有名なパラドックス(事実に反する結論なのに反論しづらい言説)をご存じだろうか? つい先日も、X(旧Twitter)で話題になっていた。

 問題の概要はこうである。

【消えた1000円問題】
 ある3人組がホテルに宿泊し、3万円を支払った。しかし、実際の宿泊費は2万5000円だったので、ホテル側はボーイに5000円を渡し、3人に返金するよう指示した。ボーイはその中から2000円をネコババし、3人には1000円ずつしか返金しなかった。結果として、3人は合計で2万7000円を支払ったことになるが、これにボーイが盗んだ2000円を加えても2万9000円にしかならず、元の3万円には足りない。残りの1000円はどこに消えたのだろう?

 いかがだろう。「たしかに、1000円が消えてしまった」と感じた人も多いのではないだろうか?

【解説】
 まずはお金の流れを整理してみよう。

 宿泊客から3万円がホテルに移動
 →ホテルから5000円がボーイに移動
 →ボーイから宿泊客に3000円が移動
 結果、
 ホテル 2万5000円
 ボーイ 2000円
 宿泊客 3000円
 合計 3万円

 こう考えると、どこにもおかしな所はない。

不思議に感じてしまう理由

 ではどうして多くの人はこの問題を「1000円足りない」と思ってしまうのだろうか? 筆者は、3つの理由があると思う。

【理由1】不適切な二重計算
 ボーイがネコババした2000円は宿泊客が支払った2万7000円の一部であるから、2万7000円に2000円を足すのは二重計算になる。宿泊客が最初に支払った金額を確認するなら、(当たり前だが)ホテルが所持する2万5000円とボーイが所持する2000円と宿泊客の手元に戻ってきた3000円を合計すべきである。

【理由2】収支の主体が複数登場する
 3人の宿泊客、ホテル、ボーイと収支の主体が複数登場するところがややこしい。一旦ホテルを経由していることもあり、ボーイにネコババされた2000円が元々は宿泊客のお金であったことがわかりづらくなっている。しかし問題の本質は、宿泊客の支出が、ホテルの収入(2万5000円)とボーイの収入(2000円)の合計に等しい点にある。

【理由3】誤解を生む文章
 読者の誤解を誘うように文章が仕組まれている。「最終的な支払いの2万7000円」と「ボーイが盗んだ2000円」が強調されているため、本来注目すべき「宿泊客の手元にある3000円」を見失ってしまう。

似た問題で考えてみよう

「消えた1000円問題」の構造が分かれば、似たようなパラドックスが作れる。

【類題】
 ある家から10人が買い出しに出かけたが、そのうち3人は体調不良で帰ってきた。帰り道の途中、1人が病院に行ったので、家に帰ってきたのは2人。今、家の外にいるのは8人だ。病院にいる1人を足しても9人。残りの1人はどこに行った?

【解説】
 病院にいる1人は家の外にいる8人の中に含まれる。それなのに、家の外にいる8人に病院にいる1人を改めて加えるのはおかしい。言うまでもないことだが、家にいる2人と家の外にいる8人を足せば、元の人数(10人)になる。

 ただし、この「類題」の理不尽さに気づく人は多いと思う。なぜなら、家の「中」と「外」がイメージしやすいため、上記の「理由2」に相当する誤解が生まれづらいからだ。

数式にすれば誤解は生まれない

 この「消えた1000円問題」と同じ構造を持つ文章題を作ってみた。

【文章題】
 あなたはある店で食事をして会計時にx円を渡した。5000円のおつりがあったが、そのうち2000円をチップとしてあげたので、結局あなたは27000円を支払った。xを求めなさい。

【解答】
 おつりからチップの分を差し引いた実質のおつり(手元に戻ってきた金額)は5000円-2000円(=3000円)。最初に渡した金額から「実質のおつり」を引くと、支払った金額になるから、xの方程式は次の通り。

 x-(5000-2000)= 27000

 xを求めるには左辺の( )を移項して

 x= 27000+(5000-2000)= 30000

 とすればよい。これを「消えた1000円問題」のパラドックスは

 x= 27000+2000

 と考えてしまっていることになる。当然、チップ分を含む支払い金額に、さらにチップの分を加える根拠はない。

 このように、数式を用いれば、疑問を挟む余地がない明確な推論が可能となる。

 一方、日常語での表現はしばしば誤解を招く。この点について、かつてガリレオは「宇宙は数学という言語で書かれている」と言った。

 実際、多くの科学者が自然現象の記述に数式を採用している。数式は、あらゆる言語の中で誤解を生むリスクが最も低いからだ。

 数学は真実を語る。たった一行の数式が、万の言葉より雄弁なことがある。

 だからこそ、古今東西、数学に魅了される者は跡を絶たない。

(本原稿は『とてつもない数学』の内容と関連した書き下ろしです。)