11×11～19×19をパパッと暗算できる「おみやげ算」。この計算法を紹介した『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』は、学習参考書として「史上初」となる「2023年 日本で一番売れた本（年間総合1位）」になりました（日販調べ）。そこで、「もっと計算を解きたい！」「もっと学びたい！」の声にお応えし、さらにパワーアップした1冊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本 計算の達人編』が登場！ おみやげ算だけでなく、例えば、「（22－5）×17＋40÷8＝」のような「＋－×÷（ ）と、おみやげ算のまじった計算」を読者の方がスラスラ暗算できることが、本書のゴールです。小学生の計算力強化だけでなく、大人の脳トレとしても役立ち、前作からの読者はもちろん、本作から読み始める方もスムーズに取り組めます。本書の著者である、東大卒プロ算数講師の小杉拓也氏にわかりやすく解説してもらいました。
Photo: Adobe Stock
おみやげ算のおさらい
さっそくですが、おみやげ算の計算法について説明します。
（例）14×17＝
①14×17の右の「17の一の位の7」をおみやげとして、左の14に渡します。すると、14×17が、（14＋7）×（17－7）＝21×10（＝210）になります。
②その210に、「14の一の位の4」と「おみやげの7」をかけた28をたした238が答えです。
まとめると、14×17＝（14＋7）×（17－7）＋4×7＝210＋28＝238です。
この2ステップで、例えば、11×15、16×12、19×19などの「十の位が1の2ケタの数どうしのかけ算」は、おみやげ算を使ってすべて計算でき、慣れると暗算もできるようになります。
「おみやげ算で計算できる理由の証明（文字式を使った説明）」については、過去の記事『「16×18＝288」が爆速で暗算できる驚きの方法』に掲載しています。
また、小学生向けの理由の説明は、『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本 計算の達人編』の巻末に、長方形の面積図を使った方法を載せていますので、興味のある方はご参照ください。
Aさん1人では20日、Bさん1人では30日かかる仕事を、AさんとBさんが一緒にしたら何日かかる？
おみやげ算もそのひとつですが、今回の記事のテーマは「学校ではあまり教えてくれない算数」です。「仕事算」といわれることもある特殊算についてお話ししていくのですが、具体的にどのような内容か、次の問題をみてください。
この問題を解くポイントは、まず「全体の仕事量を、何かの数とおく」ということです。今回は、計算しやすいように、全体の仕事量を「20と30の最小公倍数」の60とおきましょう（最小公倍数とおく理由は後述します）。
20と30の最小公倍数とは、「20の倍数と30の倍数に共通する倍数（公倍数）のうち、最も小さい数」のことです。
全体の仕事量が60で、Aさん1人では20日かかるので、Aさんの1日の仕事量は、（60÷20＝）3です。Bさん1人では30日かかるので、Bさんの1日の仕事量は、（60÷30＝）2です。
ところで、全体の仕事量を1とおく解き方もあるのですが、その場合、Aさん、Bさんの1日の仕事量が分数になって、計算が少しややこしくなります。一方、全体の仕事量を最小公倍数にすれば、1日の仕事量が整数となり、計算しやすくなります。
話を戻します。Aさんの1日の仕事量は3、Bさんの1日の仕事量は2なので、AさんとBさんが一緒にする1日の仕事量は（3＋2＝）5です。
全体の仕事量が60で、一緒にする1日の仕事量は5なので、（60÷5＝）12日で、AさんとBさんは仕事を終えることができます。答えは12日ということです。
一方、現実的には、このように「ちょうど12日で終わる」ということは考えにくいですね。仕事前後や仕事中の打ち合わせの時間の加算、2人の仕事の相性、一緒に仕事をするときのモチベーションの程度など、変数が多いので、12日より早く終わることもあれば、もっとかかることもあるでしょう。そこは、算数の問題ということでご了承いただければと思います。
今回は「仕事算」をとりあげましたが、スムーズに解けたでしょうか。「学校ではあまり教えてくれない算数」のなかにも、面白さはたくさんあります。学校で習わない算数の世界を、本などで調べてみるのも楽しいかもしれません。
