天才数学者たちの知性の煌めき、絵画や音楽などの背景にある芸術性、AIやビッグデータを支える有用性…。とても美しくて、あまりにも深遠で、ものすごく役に立つ学問である数学の魅力を、身近な話題を導入に、語りかけるような文章、丁寧な説明で解き明かす数学エッセイ『とてつもない数学』が6月4日に発刊。発売4日で1万部の大増刷、その後も増刷が続いている。
鎌田浩毅氏(京都大学教授)「数学“零点”を取った私のトラウマを払拭してくれた」(「プレジデント2020/9/4号」)、「人気の数学塾塾長が数学の奥深さと美しさ、社会への影響力などを数学愛たっぷりにつづる。読みやすく編集され、数学の扉が開くきっかけになるかもしれない」(朝日新聞2020/7/25掲載)、佐藤優氏「永野裕之著『とてつもない数学』は、粉飾決算を見抜く力を付ける上でも有効だ」(「週刊ダイヤモンド2020/7/18号」)、教育系YouTuberヨビノリたくみ氏「色々な角度から『数学の美しさ』を実感できる一冊!!」と絶賛されている。今回は「天才数学者ガロア」をテーマに、著者が書き下ろした原稿を掲載。連載のバックナンバーはこちらから。

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非業の死を遂げた男

 どの世界にも、若くして亡くなった天才がいる。作曲家ならモーツァルトやシューベルト、画家ならゴッホやエゴン・シーレ、日本の小説家なら太宰治や宮沢賢治、ポップスターならジョン・レノンや尾崎豊などを思い浮かべる人は多いだろう。彼らが夭折(ようせつ)した原因は、病死、事故死、自殺、暗殺など様々であるが、数学界には、20歳にして決闘で命を落とした不世出の若者がいた。

 若者がこだわったのは「公式」だった。公式というのは、数や式の間に成り立つ関係を一般化して、文字や記号で表したものである。一般化というのは様々なケースにあてはまる性質をひとつの形に表すことを言うが、彼に限らず、ほとんどの数学者が「公式」の研究に没頭するのは数学という学問の目的によるところが大きい。

 数学が目指すもの、それは未知の問題の解決である。では、誰も解いたことのない新しい問題を解くにはどうすればよいのだろうか。それには次の5つのステップが必要だと私は思う。

(1)情報の整理
(2)様々な視点による観察
(3)問題の分割
(4)演繹的アプローチ
(5)総合

(3)と(4)については少し補足させてほしい。

 フランスのルネ・デカルト(1596ー1650)は、『方法序説』の中で

「難問の一つ一つを、できるだけ多くの、しかも問題をよりよく解くために必要なだけの小部分に分割すること」(方法序説 谷川多佳子訳 岩波文庫)

と書いた。「困難は分割せよ」と要約されることの多い一節である。アメリカの鉄鋼王アンドリュー・カーネギー(1835-1919)も「大きな問題に直面したときは、その問題を一度に解決しようとせずに問題を細分化し、その一つ一つを解決しなさい」と語っている。

(3)の「問題の分割」とはまさにこれである。マイクロソフトの創業者として知られるビル・ゲイツ氏もしきりに「問題を切り分けろ」と部下に指示していたらしい。

(4)の「演繹的アプローチ」というのは、一般的に成り立つことを、具体的にあてはめていくことを言う。たとえば「円の面積=半径×半径×円周率」の「半径」のところに具体的な数字をあてはめて円の面積を求めるのは、まさに演繹的アプローチだ。

 最初は手に負えない問題に見えたとしても、色々な視点から観察し、いくつかの「小問題」に切り分けていけば、その一つ一つの「小問題」については、既に解決方法が確立されていることは少なくない。そういうものに対しては演繹的アプローチを使えば比較的簡単に解決する。

 もちろん、問題を分割しても、得られた「小問題」のすべてに演繹的アプローチが通用するとは限らない。90%は演繹的に処理できたとしても、残りは既知のパターンにはあてはまらない、ということもあるだろう。そんなときは、残りの10%だけを真剣に考えればよい。

 問題を解決しようとするとき、演繹的に処理できる部分(公式が使える部分)が多ければ多いほど試行錯誤を繰り返しながら熟慮するべき「小問題」の割合は少なくなり、それだけ全体の解決に到達できる可能性は高くなる。