13枚を出し尽くしたとき、「出会いが一度も起こらない確率」はいくつでしょうか。
難関大学の入試の定番
「モンモール数」とは？
これはAさんのカード「1」にはBさんの「1」以外のカードが対応し、Aさんのカード「2」にはBさんの「2」以外のカードが対応するというように、すべてばらばらに対応する順列の数を求めることに帰着します。
例えば、カードが3枚の場合はAさんの（1、2、3）に対して、Bさんのカードの順番が（2、3、1）、（3、1、2）の2通りのどちらかであればいいということです。
3枚のカードの並べ方は全部で3×2×1=6通りあるので、出会いが一度も起こらない確率は2/6=1/3となり約33％です。
カードの並べ方（1、2、3）は順列です。n枚のカードすなわち1、2、3、…、nの数を並べる順列において、i番目がiではない順列のことを攪乱（かくらん）順列（攪乱:かき乱すこと）または完全順列と呼びます。そして攪乱順列の数をD_nで表し、出会い数またはモンモール数と呼びます。出会いが一度も起こらない確率をP_nとします。
n個の数字を並べる順列の総数はn×（n－1）×…×2×1=n!通りです。これをnの階乗といいます。すると、出会いが一度も起こらない確率P_n=攪乱順列の数D_n/順列の総数n!と表すことができます。nが1から4までの場合、次のようになります。
n=1のとき（1）の攪乱順列はありません。D_1=0
n=2のとき攪乱順列は（2、1）、D_2=1、P_1=1/2=0.5
n=3のとき攪乱順列は（2、3、1）、（3、1、2）、D_3=2、P_3=2/（3×2×1）=1/3=0.333…
n=4のとき攪乱順列は（2、1、4、3）、（2、3、4、1）、（2、4、1、3）、（3、1、4、2）、（3、4、1、2）、（3、4、2、1）、（4、1、2、3）、（4、3、1、2）、（4、3、2、1）、D_4=9、P_4=9/（4×3×2×1）=0.375
このように「出会いの問題」は攪乱順列の数D_nを求めることに帰着します。
