オイラーによればモンモール数は
ネイピア数eの逆数に収束する
モンモールとは別に、数学者オイラーは「封筒とりちがえ問題」を研究していました。
ある人がn通の手紙を書き、宛名を記した封筒をn枚用意した。どの手紙も正当な宛名の封筒に入れない仕方は何通りあるか。
「封筒とりちがえ問題」の答えは攪乱順列の数（出会い数）に他なりません。1740年頃にオイラーは攪乱順列を研究することで出会い数を求める公式（図4－5）を導き出すことに成功しました。その結果は私たちを二度驚かせてくれます。
同書より転載 拡大画像表示
第一に、nが無限大のとき確率P_nが e分の1であること！「1/e=1/2.718281828…=0.3678794411714423215955237701…）約37％）」です。
さて、nが無限大すなわち無限大のカードなんて非現実的です。モンモールの問題はn=13の場合です。P_13を計算してみると「P_13=0.36787/9441160…」。なんと1/eと10桁も合っているではありませんか！
n=100の場合は「P_100=0.36787944117144233…」と16桁合っています。これが第二の驚きです。
モンモールの問題の答えはカードの数が13枚でも100枚でも100億枚でも、約37％でほとんど変わらないという驚きの結論！そもそも3枚の場合の確率でさえ、1/3=約33％です。
応用で「運命の人」に
出会える確率もわかる！
「出会いが一度も起こらない」の反対は「少なくとも一度は出会いがある」です。これを余事象といいます。少なくとも一度は出会いがある場合とは、n=3であれば一度だけの出会いから三度すべて出会うことまでを意味します。
