まずは状況を整理しよう
本問は「赤1,黒4,赤2」みたいな並びにせよという意味です。
これなら、「4÷1＝4」「4÷2＝2」と、黒のカードの数字は、ちゃんと左右どちらにある赤いカードの数字でも割り切れますね。
逆に、「赤1,黒4,赤3」みたいな並びはありえません。
黒の「4」が、赤の「3」で割り切れないからです。
このルールに従って9枚のカードを並べるわけですが、いま、場にあるカードの数字は以下のとおり。
2（赤）
3（赤）、3（黒）
4（赤）、4（黒）
5（赤）、5（黒）
6（黒）
カードは9枚ありますが、数字は6種のみです。
こうすると、考える負担が少し減りますね。
「確定」と言える並びは？
場に出た数字を見ると、いくつか、おのずと並び順が確定できそうなものが見つかります。
赤の数字は「1,2,3,4,5」ですが、「赤5」で割り切れる黒の数字は「黒5」しかありません。
つまり「黒5」と「赤5」はかならず隣り合います。
かつ、「赤5」で割り切れる黒のカードは他に存在しないため、「赤5」は並べた9枚のカードのいちばん端に置かなければいけません。
いったん左端に置いてみますね。
ここが糸口になりそうです。
次に、「黒5」のもう一方で隣り合う数字を考えてみます。
残っている赤のカードで「黒5」を割り切れるのは「赤1」のみ。
というわけで、ここも確定します。
残っている候補から「確定」を探す
次に「赤1」のもう一方側を考えたくなりますが、「赤1」はすべての数字を割り切れるので、候補が絞れません。
なので残りのカードから、隣り合う組み合わせを探してみます。
2（赤）
3（赤）、3（黒）
4（赤）、4（黒）
6（黒）
残っている赤のカードは「2,3,4」ですが、いちばん数字の大きい「赤4」で割り切ることができるのは「黒4」のみです。
よって、この2枚は隣同士だと確定します。
かつ、「赤4」で割り切れる黒のカードは他に存在しないため、「赤4」は並べた9枚のカードのいちばん端に置かなければいけません。
これで、両端が確定しましたね。
同じように確定させていくと？
次に、「黒4」のもう一方で隣り合う数字を考えてみます。
使われていない赤のカードは「2,3」のみ。
「黒4」を割り切れるのは「赤2」ですね。
というわけで、ここも確定します。
ここまで来れば、あとは簡単ですね。
残っている黒のカードは「3,6」のみ。
そのなかで、「赤2」で割り切れるのは「黒6」だけですから、この並びも確定します。
これで残っているカードは「黒3」「赤3」だけになりましたが、黒と赤は交互に並べるため、おのずと置く場所は決まります。
ためしに置いてみましょう。
「黒3」も、左右の赤のカードで割り切れる形になっていますね。
これが正しい並び順だと確定しました。
もちろん、この並び方は左右逆でも同じです。
ということで、9枚の中央にくるカードは「赤3」です。
真ん中にくるのは「赤3」のカード
この問題から学べること
パッと見では悩んでしまう問題でしたが、1つ確定できるとスムーズに考えていけましたね。
複雑に見える状況を整理し、そこから見出した「確定できること」を糸口にして全体像を描いていく。まさに、
論理的に事実を組み立てていく思考が必要となる問題でした。
ちなみに、この問題の元になっているのは2003年のAMC（アメリカ数学コンペティション）で出題された問題です。
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