東京「男子御三家＋駒場東邦」の入試算数で問われたこと【中学受験2022】

数え忘れに注意が必要な開成の問題

石田　図2の大問1には、3つの計算問題が並んでいます。（2）の問題を解いてみましょう。7ケタの数字を足して、9で割ったときの余りを求める問題ですが、計算しなくても見ただけで答えが出たという人はいますか。

　9の倍数の判定法を習いましたか？ 各ケタの数を全部足して、それを9で割ったとき、割り切れたら9の倍数です。1234567の場合、各ケタの和は1＋2＋3＋4＋5＋6＋7という計算式で、28となります。各ケタの和が27のときは9の倍数ですから、この数は9の倍数足す1、つまり、9で割ったときの余りは1です。

　他の4つの数も、1から7の順番が入れ替わっているだけですから、いずれも余りは1になります。ですから、余り1になる数を5つ足すので、答えは5になります。

　ひたすら計算を始めてしまう子と考えてから計算する子は、こういうところで差が付きます。計算してからではなく、計算する前に、全体をよく見渡してから取りかかるようにしてください。

　次に（3）を見てみましょう。4人が転がした4個のサイコロの目の数をすべてかけたときに4の倍数は何通りあるのか。1296通りを全部書き出すのではたいへん。まず、全体を見渡してみるのが大切な姿勢です。この4個の中に4の目が入っていれば4の倍数になります。4の目が2個、3個、4個あっても、同じく4の倍数になりますね。この先をどう考えますか。

　4の倍数でないのはどういうときか、という考え方をしてみましょう。中学校では「余事象」といいます。まず思いつくのは、4個のサイコロの目がすべて奇数のとき。奇数を4つかけると答えは奇数になります。1個のサイコロの目には1、3、5と3つの奇数があるので、3×3×3×3＝81通りがまず4の倍数にならない。他にはどうでしょう。

　目の1つが4以外の偶数である2か6のときに、4の倍数にならない例を考えてみると、例えば1×3×2×5のときは30で4の倍数にはならないですね。このように、1つが偶数の2か6で他が奇数のときがあります。さてその個数を、偶数は2か6の2つで、他は3つある奇数なので、2×3×3×3＝54通り、と計算してもいいですか？

　実はこれでは間違いです。これは最初の1個が2か6の偶数だった場合の数です。他に、2個目、3個目、4個目の目が2か6の偶数という場合もあります。したがって、どこで2か6の目が出るかについて全部で4つのパターンがあるので、このときの場合の数は54×4＝216通りになります。

　そこで、1296通りから、4個とも奇数の場合の81通りと、1個だけ2か6の偶数で他は奇数の場合の216通りを引くと、1296－（81＋216）＝999通りが、4の倍数になると分かります。

　この「積が4の倍数になる」場合の数の問題は、そのまま大学入試にも出ます。東大の入試問題でも類題が出ています（例えば2003年理系第5問）。サイコロを4回ではなくn回ふる，といった問題になりますが，先ほど出てきた「2と6の目が出る回がどこかというパターンがある」ことを忘れてしまうのが、生徒が間違うポイントであるのは同じです。