天才数学者たちの知性の煌めき、絵画や音楽などの背景にある芸術性、AIやビッグデータを支える有用性…。とても美しくて、あまりにも深遠で、ものすごく役に立つ学問である数学の魅力を、身近な話題を導入に、語りかけるような文章、丁寧な説明で解き明かす数学エッセイ『とてつもない数学』。鎌田浩毅氏（京都大学教授）「数学“零点”を取った私のトラウマを払拭してくれた」（「プレジデント2020/9/4号」）、「人気の数学塾塾長が数学の奥深さと美しさ、社会への影響力などを数学愛たっぷりにつづる。読みやすく編集され、数学の扉が開くきっかけになるかもしれない」（朝日新聞2020/7/25掲載）、佐藤優氏「永野裕之著『とてつもない数学』は、粉飾決算を見抜く力を付ける上でも有効だ」（「週刊ダイヤモンド2020/7/18号」）、教育系YouTuberヨビノリたくみ氏「色々な角度から『数学の美しさ』を実感できる一冊!!」と絶賛されている。新年が明けて、今年は2023年。「2023」という数字に隠された幸運な秘密について、著者が特別寄稿した。
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正月らしいパズル
お正月らしい数学パズルを紹介しよう。
可能であれば碁石を黒4個、白4個の計8個用意してほしい（なければ、黒いトランプ4枚と赤いトランプ4枚でも良いが、碁石の方がお正月の風情があるかも）。
それらを円形に白黒交互に並べたら、「1番」の碁石の場所を決めておく。次にサイコロを降る。
仮にサイコロの目が「3」だとすると、1番の碁石から数えて3つ目の碁石を抜く。
さらに抜いた碁石の隣から数えて3つ目の碁石も抜く。以下同じように、環状の碁石をぐるぐる回りながら3つ目ごとに次々に抜いていく。
そうすると最後に碁石が1つだけ残る。この碁石の色を当てるのがこのゲームの目的だ。
ちなみに「1番」の碁石の色が黒で、サイコロの出た目が「3」なら、最後に残る碁石は、最初に「1番」の隣の隣に置いた「黒」である（良かったら確かめてみてほしい）。
これは、古くから日本に伝わるゲームで「継子（ままこ）立て」と呼ばれるものだ。
ただし、上の設定は私なりに少々アレンジしてある。普通は、碁石は計30個用意し、何番目ごとに抜き出すのかはサイコロで決めるのではなく「10」にすることが多い。
ユダヤ戦記の興味深いエピソード
ヨーロッパにも「継子立て」とよく似た数学パズルの古典がある。『ユダヤ戦記』に記された実話を元に370年頃に作られたというその問題を紹介しよう。
紀元66年、ローマ帝国の支配下にあったユダヤ人は、反旗を翻して独立戦争を起こした。
ユダヤ側の総司令官ヨセフスは40人の兵士とともにヨタパヤという町でローマ軍に包囲されてしまう。しばらくは洞窟に身を隠していたが、いよいよ食料が尽きてしまった。
それでも誇り高きユダヤ人たちは降伏の道を選ばなかった。集団自決を望んだのだ。
しかし…ヨセフスとその友人の2人は内心、命は助かりたいと思っていた。そこでヨセフスは同志たちに次のように言った。
ヨセフスの提案
「自決すると言っても全員がやり遂げられるとは限らない。
重傷を負いつつも生き延びてしまい敵の捕虜になるのは悲劇だ。
だったら、全員が円形に並び、ある人から数えて3番目の人ごとに同志に殺してもらうというのはどうだろうか？
そうすれば、自決は最後の1人だけですむ」と。
ヨセフスのこの提案は受け入れられた。
41人は車座に座り、友人は数えはじめの人から16番目の位置に、ヨセフスは31番目の位置に座った。結果、この2人だけが命をとりとめた。
この問題は「ヨセフスの問題」と呼ばれ、ヨーロッパでは広く知られている。
幸運数とは？
素数の分布についてのイメージを与えてくれる「ウラムの螺旋」でも知られるポーランドの数学者スタニスワフ・ウラム（1909～1984）は、1956年に「ヨセフスの問題」に着想を得て「幸運数」という名の数を定義した。
幸運数は、1以上の整数の列から「継子立て」や「ヨセフスの問題」のように次々に数を抜いていったときに残る数だ。ただし抜き方のルールは少々複雑である。
1～20の数の範囲で実演してみよう。
最初は2番目ごとに（要は偶数を）抜いていくと次の数が残る。
1、3、5、7、9、11、13、15、17、19
残った数の2番目の「3」を幸運数とする。この「3」にちなんで次は上の数列の3番目ごとに抜いていく。
1、3、7、9、13、15、19
今度は残った数の3番目の「7」を幸運数とする。同様に上の数列の7番目ごとに抜いていく。
1、3、7、9、13、15
残った数の4番目の「9」も幸運数だ。
もっと長い数列であれば、次は9番目ごとに抜いていく…永遠に続く1以上の整数の列に対して、以上のルーチンを何度繰り返しても残る数が「幸運数」である。
21世紀にたった12回
そして！
今年の西暦年「2023」は279番目の幸運数にあたる。
西暦年が幸運数になるのは、21世紀中には12回あって、今年はその3回目であり、次に幸運数になるのは2031年だ。
正直もの凄く珍しいわけではないが、一生にあと何度味わえるかを考えると貴重な感じはする。
いずれにしても「幸運な数」にちなむ今年が、皆様にとって本当に幸運な年でありますように。
（本原稿は『とてつもない数学』の著者永野裕之氏による書き下ろしです。）
