東京「女子御三家」の入試算数で問われたこと【中学受験2022】

雙葉でよく出る規則性の問題

春日　図1のような数の表の問題は、入試でもよく出ますし、算数オリンピックでも扱われることが多い。奇数を並べていって、そのまま解いてもいいのですが、今回は「何番目の奇数か」ということに注目して考えてみたいと思います。

　奇数を1、3、5、7、9と並べ、それぞれ「何番目の奇数」かに注目すると、飛び飛びの数字ではなく、皆さんが使い慣れた1、2、3、4、5（番目）という使い慣れた数字で表現することができます。この何番目の数を元の奇数に戻すには、「n番目の奇数」=n×2－1という式が使えます。例えば、3番目の奇数は、3×2－1＝5となります。

　設問の図1を「番目」で置き換えると、図2のようになります。

（1）では、「1行8列目の数」は何かが問われています。この図2の中でもう一つ注目することがあります。○を付けた数字は平方数といい、1＝1×1、4＝2×2、9＝3×3、16＝4×4といった具合に、同じ数を2回掛けたものです。これを基準に見ながら、順番に数を並べていくことになります。この先、解法については図3を見てください。

　1行目の3列目には9、5列目には25といった具合に、奇数の平方数は1行目の奇数の列に並んでいますから、7列目には49（＝7×7）が入ることが分かります。（1）で問われている「1行8列目の数」はその右隣りにある50番目となります。先ほどの「n番目の奇数」の計算式に当てはめると、50×2－1＝99となり、答えは99となります。
    
 （2）の「20行22列目の数」も同じように考えます。1行目の21列目は、21×21＝441（番目）となります。22列目の1行目は442となり、そこから下に1つずつ進んでいくと、20行目では461となります。同じように式に当てはめると、461×2－1＝921ですから、答えは921となります。

　設問（3）は「1411は何行何列目にありますか」と、これまでとは逆の問いです。先の計算式で、1411＝n×2－1となるnは706（番目）であることが分かります。この706は、平方数の676（＝26×26）と729（＝27×27）の間にある数字です。

　26は偶数なので、676は26行1列目になります。706まであと30個進めばいいわけですが、677は27行1列目となり、27行27列目は703。そこから先は上がっていき、706は24行27列目となります。

金　ありがとうございます。数字を“番目”に変換することによって、行目には偶数、列目には奇数の平方数が並ぶ。こうすることで一気に問題が解決するということですね。こうして見てくると、大問3は、雙葉の今年の算数の大きな山場になった問題だったと思います。