【制限時間10秒】「87×84＝」を暗算できる？【おみやげ算で計算できる理由の解説付き】

「十の位が同じ2ケタの数どうしのかけ算」がおみやげ算で計算できる理由とは？

おみやげ算で「十の位が同じ2ケタの数どうしのかけ算」の計算ができる理由を説明するためには、中学校で習う文字式の知識が必要です。では、さっそく説明していきます。

x、y、zを整数とすると、十の位が同じ2ケタの2数は、10x＋y、10x＋zと表せます。

そして、十の位が同じ2ケタの2数をかけた数は、（10x＋y）（10x＋z）です。これを展開すると、
（10x＋y）（10x＋z）＝100 x^2＋10xy＋10xz＋yz ……①
となります。

一方、「十の位が同じ2ケタの2数をかけた数」を、おみやげ算によって求めます。おみやげ算では、まず、右の数から左の数に、一の位の数のおみやげ（z）を渡します。それは、次のように表されます。

（10x＋y）（10x＋z）　→　（10x＋y＋z）10 x＝100 x^2＋10xy＋10xz

この結果に、「左の数の一の位（y）」とおみやげ（z）をかけた数yzをたすと、次のようになります。

100 x^2＋10xy＋10xz　→　100 x^2＋10xy＋10xz＋yz ……②

①と②が同じ式になったので、おみやげ算によって、「十の位が同じ2ケタの数どうしのかけ算」を計算できることが説明できました。

証明に「87×84」をあてはめてみると？

より具体的に理解するために、上記の証明に、先ほど例に挙げた「87×84」を当てはめて、計算の流れを確認してみましょう。

87と84はそれぞれ、10×8＋7、10×8＋4と表せます。

そして、87と84をかけると、（10×8＋7）×（10×8＋4）です。これを計算すると、
（10×8＋7）×（10×8＋4）＝100 ×8^2＋10×8×7＋10×8×4＋7×4 ……③
となります。

一方、「87×84」を、おみやげ算によって求めます。おみやげ算では、まず、右の数から左の数に、一の位の数のおみやげ（4）を渡します。それは、次のように表されます。

（10×8＋7）×（10×8＋4）　
→　（10×8＋7＋4）×（10×8）＝100 ×8^2＋10×8×7＋10×8×4

この結果に、「87の一の位（7）」とおみやげ（4）をかけた数7×4をたすと、次のようになります。

（10×8＋7＋4）×（10×8）＝100 ×8^2＋10×8×7＋10×8×4
　→　100 ×8^2＋10×8×7＋10×8×4＋7×4 ……④

③と④が同じ式になったので、おみやげ算によって、「87×84」を計算できることが説明できました。

「おみやげ算で計算できる理由」を小学生に説明するには？

文字式での証明は中学数学の範囲ですから、これをこのまま小学生に説明するわけにはいきません。では、小学生にはどのように説明すればよいのでしょうか？

小学生には、長方形の面積図を使って、おみやげ算で計算できる理由を解説できます。その方法について、ここでは誌面の都合で割愛しますが、『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』の巻末に掲載していますので、興味のある方はお手にとってみることをおすすめします。