なんでわかるの？相手の誕生日を的中させる「魔法の数式」

天秤であと何回計れば
仲間はずれが見つかるのか

●1回目に釣り合わなかった場合

　Sの4個が上がって、Tの4個が下がったとします（なお、Sの4個が下がって、Tの4個が上がった場合は、同様な議論をSとTを反対にして行えばよいので省略します）。この段階で、Uのオモリはすべて正常です。また、Sに軽いオモリがあるか、Tに重いオモリがあるか、そのどちらかが成り立ちます。

　2回目は、天秤の左にSから3個とTから1個のオモリを乗せ、天秤の右にはSから1個とUから正常な3個のオモリを乗せます。

　さらに以下、（ア）、（イ）、（ウ）に分けて考えます。

（ア）左が上がって右が下がる場合

　左に乗せたSからの3個のオモリに軽いものがあるので、あと1回で異常なオモリを決定できます。3回目は、その3個のうちの2個を天秤の左右に分けて載せればよいです。

（イ）釣り合った場合

　2回目に乗せなかったTのオモリ3個のどれかに重いものがあるので、あと1回で異常なオモリを決定できます。3回目は、その3個のうちの2個を天秤の左右に分けて載せればよいです。

（ウ）左が下がって右が上がる場合

　この状況では、2回目に左に乗せたTの1個のオモリか、右に乗せたSの1個のオモリが異常になるので、あと1回で異常なオモリを決定できます。3回目は、正常な1個と2回目に左に乗せたTの1個を比べればよいです。

　これで解答は終わりです。

　参考までに、この問題は次の定理のように一般化することができますが、証明は複雑になります（拙著の『離散数学入門』を参照）。

　定理nを自然数とし、外見が同一のオモリが

　個ある。そのうちの1つだけ他と重さが違うとし、それは他と比べて軽いか重いかは分かっていない。このとき、天秤をn+1回使ってそのオモリを決定することができる。

　以上のようになります。