11×11～19×19をパパっと暗算できる「おみやげ算」。新刊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』は、小学生の計算力強化はもちろん、大人の脳トレとしても役立ちます。本書の著者である、東大卒プロ算数講師の小杉拓也氏に、「三平方の定理」にもふれながら、わかりやすく解説してもらいました。
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おみやげ算のおさらい
（例）16×13＝
①16×13の右の「13の一の位の3」をおみやげとして、左の16に渡します。すると、16×13が、（16＋3）×（13－3）＝19×10（＝190）になります。
②その190に、「16の一の位の6」と「おみやげの3」をかけた18をたした208が答えです。
まとめると、16×13＝（16＋3）×（13－3）＋6×3＝190＋18＝208です。
この2ステップで、例えば、12×17、18×18、19×15などの「十の位が1の2ケタの数どうしのかけ算」は、おみやげ算を使ってすべて計算でき、慣れると暗算もできるようになります。
「おみやげ算で計算できる理由の証明（文字式を使った説明）」については、本連載の第2回『「16×18＝288」が爆速で暗算できる驚きの方法』に掲載しています。
また、小学生向けの理由の説明は、新刊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』の巻末に、長方形の面積図を使った方法を載せているので、興味のある方はご参照ください。
3辺の長さが18cm、24cm、30cmの三角形とは、
どんな種類の三角形か？
まず、次の問題をみてください。
この問題では「三角形の高さ」が明記されていないので、「この三角形は、直角三角形ではないか」という推測をもとに考えていきます。つまり、「三平方の定理の逆」を使って、直角三角形かどうかを確かめるのです。
3辺の長さの比が3：4：5であることや、「相似な図形の面積比」を使って求める方法もあるのですが、ここでは、中学校の教科書に沿った、基本的な解き方を紹介します。
まず、「三平方の定理」とは、次のような定理です。
直角三角形の直角をはさむ2つの辺の長さをa、bとして、斜辺の長さをcとすると、「a^2＋b^2＝c^2」が成り立つ。
※斜辺とは、直角に向かい合った辺のことです。
また、こちらも証明は割愛しますが、次の「三平方の定理の逆」も成り立ちます。
3辺の長さがa、b、cの三角形があり、「a^2＋b^2＝c^2」が成り立てば、その三角形は、長さcの辺を斜辺とする直角三角形である。
「18の2乗」「24の2乗」をそれぞれ、おみやげ算で計算すると、次のようになります（「24×24」のように、「十の位が同じ2ケタの数どうしのかけ算」も、おみやげ算で計算できます）。
18^2＝（18＋8）×（18－8）＋8×8＝260＋64＝324
24^2＝（24＋4）×（24－4）＋4×4＝560＋16＝576
