「1×2×3×4×5×6×7×8×9＝」が暗算できる「すごい方法」

11×11～19×19をパパッと暗算できる「おみやげ算」。『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』は、小学生の計算力強化はもちろん、大人の脳トレとしても役立つと好評です。読者からは「子どもが自分からすすんで取り組んでいる」「本当に暗算できるようになった」「自信がついた」などの絶賛の嵐が届いています。また、「王様のブランチ」「アッコにおまかせ！」「Nスタ」「イット！」「WBS」など、テレビ、新聞でもぞくぞく紹介！ さらには、「2023年 上半期ベストセラー」総合３位（日販調べ、トーハン調べ）に、学習参考書として「史上初」のランクイン！ 今回は、本書の著者である、東大卒プロ算数講師の小杉拓也氏が、暗算に挑戦した過程を文章化してお届けします。

おみやげ算のおさらい

さっそくですが、おみやげ算の計算法について説明します。

（例）12×18＝

①12×18の右の「18の一の位の8」をおみやげとして、左の12に渡します。すると、12×18が、（12＋8）×（18－8）＝20×10（＝200）になります。

②その200に、「12の一の位の2」と「おみやげの8」をかけた16をたした216が答えです。
まとめると、12×18＝（12＋8）×（18－8）＋2×8＝200＋16＝216です。

この2ステップで、例えば、11×13、17×15、14×19などの「十の位が1の2ケタの数どうしのかけ算」は、おみやげ算を使ってすべて計算でき、慣れると暗算もできるようになります。

「おみやげ算で計算できる理由の証明（文字式を使った説明）」については、本連載の第2回『「16×18＝288」が爆速で暗算できる驚きの方法』に掲載しています。

また、小学生向けの理由の説明は、『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』の巻末に、長方形の面積図を使った方法を載せているので、興味のある方はご参照ください。

著者、「1×2×3×4×5×6×7×8×9＝」の暗算に挑戦する

今回の記事は、少し趣旨をかえて、著者の小杉拓也が「1×2×3×4×5×6×7×8×9＝」の暗算をするにあたって、頭の中で考えたことを、記事として読みやすいように文章化したものです。では、スタートです。
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まず、「1×2×3×4×5＝」を、左から順に計算すると、

1×2×3×4×5＝2×3×4×5＝6×4×5＝24×5＝120　
（途中式の「6×4×5」は、6×4×5＝6×5×4＝30×4＝120と計算してもよい。）

ここまではスムーズだ。ここから、6、7、…とかけていくと、

120×6＝（100＋20）×6＝600＋120＝720
720×7＝（700＋20）×7＝4900＋140＝5040

このまま分配法則を使って、残りの8と9をかければ、なんとか答えは求められそうだ。ただそれだと、あまりに定番の計算法だ。

何か面白い方法で暗算できないものか？

「1×2×3×4×5＝120」と求められたから、残りの「6×7×8×9＝」を何か面白い方法で計算できないものか。

あっ、交換法則（かけ算だけの式では、数を並べかえても答えは同じになる）と結合法則（かけ算だけの式では、どこにかっこをつけても答えは同じになる）を使えば、「6×7×8×9＝」の式を次のように変形できる。

6×7×8×9
＝6×9×7×8　　　←数を並べかえる（交換法則）
＝（6×9）×（7×8）　　←かっこをつける（結合法則）
＝54×56

本書では紹介していないが、例えば、31×32、87×84などの「十の位が同じ2ケタの数どうしのかけ算」も、おみやげ算を使ってすべて計算できる。

「54×56」は「十の位が同じ2ケタの数どうしのかけ算」なので、おみやげ算で次のように計算できる。

①54×56の右の「56の一の位の6」をおみやげとして、左の54に渡す。すると、54×56が、（54＋6）×（56－6）＝60×50（＝3000）になる。

②その3000に、「54の一の位の4」と「おみやげの6」をかけた24をたした3024が「54×56」の答えである。
まとめると、次のようになる。

6×7×8×9
＝（6×9）×（7×8）
＝54×56＝（54＋6）×（56－6）＋4×6＝3000＋24＝3024

ここまでをまとめると、「1×2×3×4×5＝120」と「6×7×8×9＝3024」であることがわかった。あとは、「120×3024＝」を計算すれば、「1×2×3×4×5×6×7×8×9＝」の答えが求められる。

「120×3024＝」をどう暗算する？

最終段階だ。「120×3024＝」の計算だが、ここは素直に分配法則を使って計算すると、次のようになる。

120×3024
＝（100＋20）×3024
＝302400＋60480
＝362880

これで、「1×2×3×4×5×6×7×8×9＝362880」と求められた。
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みなさんはどのように計算されましたか？　今回の記事では、おみやげ算と分配法則、交換法則、結合法則を使って、一般的ではない方法で暗算しました。暗算するための計算法は他にもたくさんあるはずです。お時間のあるときに、あれこれ考えてみるのも面白いかもしれません。