11×11~19×19をパパっと暗算できる「おみやげ算」。新刊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』は、小学生の計算力強化はもちろん、大人の脳トレとしても役立ちます。本書の著者である、東大卒プロ算数講師の小杉拓也氏に、「内角の和の求め方」にもふれながら、わかりやすく解説してもらいました。

【制限時間10秒】「十六角形の内角の和は何度か」を暗算できる?Photo: Adobe Stock

おみやげ算のおさらい

まず、おみやげ算の解き方を復習しましょう。

(例)12×16=

①12×16の右の「16の一の位の6」をおみやげとして、左の12に渡します。すると、12×16が、(12+6)×(16-6)=18×10(=180)になります。

②その180に、「12の一の位の2」と「おみやげの6」をかけた12をたした192が答えです。
まとめると、12×16=(12+6)×(16-6)+2×6=180+12=192です。

この2ステップで、例えば、17×13、14×15、18×19などの「十の位が1の2ケタの数どうしのかけ算」は、おみやげ算を使ってすべて計算でき、慣れると暗算もできるようになります。

「おみやげ算で計算できる理由の証明(文字式を使った説明)」については、本連載の第2回『「16×18=288」が爆速で暗算できる驚きの方法』に掲載しています。

また、小学生向けの理由の説明は、新刊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』の巻末に、長方形の面積図を使った方法を載せているので、興味のある方はご参照ください。

「□角形の内角の和=180°×(□-2)」が成り立つ理由とは?

三角形、四角形、五角形、…などのように、直線で囲まれた図形を、多角形といいます。また、内角とは、内部の角のことです。

多角形の内角の和は、「□角形の内角の和=180°×(□-2)」という公式によって求められます(多角形の内角の和について、小学5年生で習います)。なぜ、この公式によって求められるのでしょうか?

「□角形の内角の和=180°×(□-2)」の公式が成り立つ理由を解説していきます(実際は図をかいて説明するのがよいのですが、誌面の都合上、図は割愛します)。

三角形の内角の和が180°であることをもとに、四角形の内角の和を求めましょう(三角形の内角の和が180°であることの理由は省略します)。四角形の1つの頂点から、向かい合う角の頂点に対角線を引くと、四角形は2つの三角形に分かれます。だから、四角形の内角の和は、(180°×2=)360°であると説明できます。

次に、五角形の内角の和を調べてみましょう。五角形の1つの頂点から、(その頂点自身と、となり合う頂点をのぞいた)2つの頂点に、2本の対角線を引きます。すると、五角形は3つの三角形に分かれます。そのため、五角形の内角の和は、(180°×3=)540°とわかります。

同様に、□角形の1つの頂点から、(□-3)本の対角線を引くと、□角形は、(□-2)個の三角形に分かれます。そのため、□角形の内角の和は、「180°×(□-2)」で求められます。