11×11～19×19をパパっと暗算できる「おみやげ算」。新刊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』は、小学生の計算力強化はもちろん、大人の脳トレとしても役立ちます。本書の著者である、東大卒プロ算数講師の小杉拓也氏に、「内角の和の求め方」にもふれながら、わかりやすく解説してもらいました。
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おみやげ算のおさらい
まず、おみやげ算の解き方を復習しましょう。
（例）12×16＝
①12×16の右の「16の一の位の6」をおみやげとして、左の12に渡します。すると、12×16が、（12＋6）×（16－6）＝18×10（＝180）になります。
②その180に、「12の一の位の2」と「おみやげの6」をかけた12をたした192が答えです。
まとめると、12×16＝（12＋6）×（16－6）＋2×6＝180＋12＝192です。
この2ステップで、例えば、17×13、14×15、18×19などの「十の位が1の2ケタの数どうしのかけ算」は、おみやげ算を使ってすべて計算でき、慣れると暗算もできるようになります。
「おみやげ算で計算できる理由の証明（文字式を使った説明）」については、本連載の第2回『「16×18＝288」が爆速で暗算できる驚きの方法』に掲載しています。
また、小学生向けの理由の説明は、新刊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』の巻末に、長方形の面積図を使った方法を載せているので、興味のある方はご参照ください。
「□角形の内角の和＝180°×（□－2）」が成り立つ理由とは？
三角形、四角形、五角形、…などのように、直線で囲まれた図形を、多角形といいます。また、内角とは、内部の角のことです。
多角形の内角の和は、「□角形の内角の和＝180°×（□－2）」という公式によって求められます（多角形の内角の和について、小学5年生で習います）。なぜ、この公式によって求められるのでしょうか？
「□角形の内角の和＝180°×（□－2）」の公式が成り立つ理由を解説していきます（実際は図をかいて説明するのがよいのですが、誌面の都合上、図は割愛します）。
三角形の内角の和が180°であることをもとに、四角形の内角の和を求めましょう（三角形の内角の和が180°であることの理由は省略します）。四角形の1つの頂点から、向かい合う角の頂点に対角線を引くと、四角形は2つの三角形に分かれます。だから、四角形の内角の和は、（180°×2＝）360°であると説明できます。
次に、五角形の内角の和を調べてみましょう。五角形の1つの頂点から、（その頂点自身と、となり合う頂点をのぞいた）2つの頂点に、2本の対角線を引きます。すると、五角形は3つの三角形に分かれます。そのため、五角形の内角の和は、（180°×3＝）540°とわかります。
同様に、□角形の1つの頂点から、（□－3）本の対角線を引くと、□角形は、（□－2）個の三角形に分かれます。そのため、□角形の内角の和は、「180°×（□－2）」で求められます。
