【小学生でもわかる！】「ユークリッドの互除法」とは？

11×11～19×19をパパッと暗算できる「おみやげ算」。この計算法を紹介した『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』は、学習参考書として「史上初」となる「2023年 日本で一番売れた本（年間総合1位）」になりました（日販調べ）。そこで、「もっと計算を解きたい！」「もっと学びたい！」の声にお応えし、さらにパワーアップした1冊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本　計算の達人編』が登場！ おみやげ算だけでなく、例えば、「（22－5）×17＋40÷8＝」のような「＋－×÷（ ）と、おみやげ算のまじった計算」を読者の方がスラスラ暗算できることが、本書のゴールです。小学生の計算力強化だけでなく、大人の脳トレとしても役立ち、前作からの読者はもちろん、本作から読み始める方もスムーズに取り組めます。本書の著者である、東大卒プロ算数講師の小杉拓也氏にわかりやすく解説してもらいました。

おみやげ算のおさらい

さっそくですが、おみやげ算の計算法について説明します。

（例）14×17＝

①14×17の右の「17の一の位の7」をおみやげとして、左の14に渡します。すると、14×17が、（14＋7）×（17－7）＝21×10（＝210）になります。

②その210に、「14の一の位の4」と「おみやげの7」をかけた28をたした238が答えです。
まとめると、14×17＝（14＋7）×（17－7）＋4×7＝210＋28＝238です。

この2ステップで、例えば、11×15、16×12、19×19などの「十の位が1の2ケタの数どうしのかけ算」は、おみやげ算を使ってすべて計算でき、慣れると暗算もできるようになります。

「おみやげ算で計算できる理由の証明（文字式を使った説明）」については、過去の記事『「16×18＝288」が爆速で暗算できる驚きの方法』に掲載しています。

また、小学生向けの理由の説明は、『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本　計算の達人編』の巻末に、長方形の面積図を使った方法を載せていますので、興味のある方はご参照ください。

ユークリッドの互除法とは何か？

おみやげ算もそのひとつですが、今回の記事のテーマは「小学校では教わらない算数」で、「ユークリッドの互除法（ごじょほう）」についてお話ししていきます。現在は、高校の数学Aの範囲ですが、やり方自体は、整数の割り算と、最大公約数ができればわかるので、高学年の小学生でも理解できる内容だといえます。

まず、最大公約数の意味について確認しておきましょう。例えば、「6と4の最大公約数」とは、「6の約数と4の約数に共通する約数（公約数）のうち、最も大きい数」のことです（6と4の最大公約数は、2）。

では、ユークリッドの互除法について、□、〇、△、☆の4つの記号（どれも、正の整数とします）を使って説明していきます。まず、「割り算と最大公約数の性質」について学びましょう。

この性質を使って、次の【問題】のように、最大公約数を求める方法を、ユークリッドの互除法といいます。

・まず、648を456で割ると、
648÷456＝1あまり192
と求められます。「割り算と最大公約数の性質」から、648と456の最大公約数は、456と192の最大公約数に等しいことがわかります。

・次に、456を192で割ると、
456÷192＝2あまり72
と求められます。456と192の最大公約数は、192と72の最大公約数に等しいことがわかります。

・次に、192を72で割ると、
192÷72＝2あまり48
と求められます。これにより、192と72の最大公約数は、72と48の最大公約数に等しいことがわかります。

・次に、72を48で割ると、
72÷48＝1あまり24
と求められます。これにより、72と48の最大公約数は、48と24の最大公約数に等しいことがわかります。

・次に、48を24で割ると、
48÷24＝2
と割り切れます。割り切れたので、48と24の最大公約数は24です。
すなわち、648と456の最大公約数も24となります。【問題】の答えは24ということですね。

今回は「ユークリッドの互除法」をとりあげましたが、スムーズに解けたでしょうか。「学校では教わらない算数」のなかにも、面白さはたくさんあります。学校で習わない算数の世界を、本などで調べてみるのも楽しいかもしれません。