11×11～19×19をパパっと暗算できる「おみやげ算」。新刊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』は、小学生の計算力強化はもちろん、大人の脳トレとしても役立ちます。本書の著者である、東大卒プロ算数講師の小杉拓也氏に、「ひし形の面積を求める公式と、その成立理由」にもふれながら、わかりやすく解説してもらいました。
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おみやげ算のおさらい
（例）14×18＝
①14×18の右の「18の一の位の8」をおみやげとして、左の14に渡します。すると、14×18が、（14＋8）×（18－8）＝22×10（＝220）になります。
②その220に、「14の一の位の4」と「おみやげの8」をかけた32をたした252が答えです。
まとめると、14×18＝（14＋8）×（18－8）＋4×8＝220＋32＝252です。
この2ステップで、例えば、12×13、16×15、19×19などの「十の位が1の2ケタの数どうしのかけ算」は、おみやげ算を使ってすべて計算でき、慣れると暗算もできるようになります。
「おみやげ算で計算できる理由の証明（文字式を使った説明）」については、本連載の第2回『「16×18＝288」が爆速で暗算できる驚きの方法』に掲載しています。
また、小学生向けの理由の説明は、新刊『小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本』の巻末に、長方形の面積図を使った方法を載せているので、興味のある方はご参照ください。
「ひし形の面積＝対角線×対角線÷2」が成り立つ理由とは？
ところで、ひし形の面積はなぜ、「対角線×対角線÷2」という式で求められるのでしょうか。
例えば、17cmと24cmの対角線をもつ、ひし形を例に考えます。図をかいて説明するのがよいのですが、誌面の都合上、割愛します。まず、このひし形に、2本の（垂直に交わる）対角線を引きましょう。
すると、ひし形は、4個の合同な直角三角形に分かれます。ひし形の2本の対角線にはさみを入れて、4個の直角三角形のピースに分けましょう。
ここで、この合同な直角三角形を2倍の8個に増やして、パズルのように組み合わせると、たて17cm、横24cmの長方形をつくれます。この長方形のたてと横の長さは、それぞれひし形の対角線の長さに等しいです。そのため、このひし形の面積は「対角線×対角線÷2（17×24÷2）」で求められます。
それぞれの対角線の長さが違うひし形にも同様のことが言えるので、「ひし形の面積＝対角線×対角線÷2」が成り立ちます。
